Пример 3

Найти все q, при которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Решение

Добавляя к обеим частям уравнения x + 2, запишем. Правая часть уравнения неотрицательная, поэтому x + 2 ≥ 0. Возведем в квадрат обе части уравнения, перенесем все члены уравнения в левую часть и умножим их –1, получим 2x² + 4x + 4 – q =0.

Вычислим дискриминант квадратного уравнения D/4 = –4 – 2q. Так как по условию задачи уравнение должно иметь два решения, то дискриминант должен быть положительным, значит –4 – 2q > 0 или q < –2. Тогда квадратное уравнение имеет два решения . Учитывая неравенство x₁ > x₂, остается проверить выполнение ограничения x + 2 ≥ 0 для x = x₂. Имеем ,после возведения в квадрат и преобразований получим q > –4. Вспоминая ограничение на дискриминант, получим –4 < q < –2.

Ответ: