Урок 3.12 Область определения и множество значений функций

Пример 3

При всех значениях параметра a решить уравнение .

Решение

Сначала рассмотрим особый случай a = 0, поскольку при таком значении a происходит упрощение правой и левой частей уравнения (часто такие особые значения параметра, при которых происходит сильное упрощение выражения, называют вырожденными случаями и всегда рассматривают отдельно от общей ситуации).
При a = 0 уравнение принимает вид: , его правая часть определена только при , но это значение не входит в область определения уравнения. Итак, при a = 0 уравнение не имеет решений.
Если a ≠ 0, то знак обоих слагаемых в левой части уравнения совпадает со знаком переменной x, из неотрицательности правой части следует, что имеет смысл рассматривать только значения x > 0. Множеством значений левой части уравнения тогда является множество , то есть множество . С другой стороны, подкоренное выражение в правой части уравнения является квадратным трехчленом со множеством значений . Учитывая условие , получаем, что множество значений правой части совпадает с отрезком .
Теперь видно, что наименьшее значение левой части уравнения совпадает с наибольшим значением его правой части, поэтому уравнение имеет те же решения, что и система
.
Второе уравнение этой системы выполняется только при x = a. Это значение удовлетворяет первому уравнению, если 2a = 2|a|, то есть при a > 0.

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"