Другие применения инверсии. Построения одним циркулем

Инверсия нашла применение и в технике. С изобретением паровой машины начали бурно развиваться шарнирные механизмы – системы, состоящие из твердых звеньев, соединенных шарнирами и предназначенных для преобразования движений одних звеньев в требуемые движения других. В частности, требовалось придумать спрямляющий механизм – устройство, которое бы осуществляло преобразование вращательного движения маховика в поступательное движение поршня в цилиндре машины, и наоборот. С этой проблемой столкнулся изобретатель паровой машины Дж. Уатт, но предложенные им решения было приблизительными, хотя и сравнительно точными: траектории нужных точек весьма мало удалялись от прямых. Знаменитый русский математик П. Л. Чебышев также нашел несколько замечательных приближенных спрямляющих механизмов, используя созданную им теорию многочленов, наименее уклоняющихся от нуля (1858 г.). И вот в 1864 г. французский инженер Поселье изобрел инверсор, точно преображающий вращательное движение в поступательное на основе инверсии. В 1872 г. независимо от Поселье тот же инверсор изобрел ученик Чебышева – студент Петербургского университета Липкин.

Рис. 1. Инверсор Поселье

Если точка A описывает некоторую кривую, то точка C проходит образ этой кривой при инверсии относительно окружности с центром O. В самом деле,

OA ∙ OC = (OM – CM) (OM + CM) = OM2 – CM2 = (OM2 + MB2) – (CM2 + MB2)= m2 – n2 = const.

Следовательно, если точка A движется по окружности, проходящей через O, точка C движется по прямой.

Наконец, инверсия имеет и много чисто геометрических приложений. Она облегчает решение многих задач, которые без нее решаются более сложно. Например, Папп доказал следующую красивую теорему. Вслед за Архимедом он рассмотрел т. н. «арбелон» (по-гречески скребок) – криволинейный треугольник, образованный тремя касающимися друг друга полуокружностями, диаметры которых принадлежат одной прямой. Папп показал, что если в арбелон вписать серию окружностей, как показано на рис. 2, то радиус первой будет в два раза меньше расстояния от ее центра до прямой AB, у второй – в 4 раза меньше расстояния от ее центра до AB, у третьей – в 6 раз и т. д. Эта теорема, доказанная Паппом хоть и изящно, но непросто, в наше время с помощью инверсии может быть доказана так. Осуществим инверсию относительно какой-либо окружности с центром A. При этом прямая AB остается на месте, а обе полуокружности, между которыми вписана рассматриваемая серия окружностей, переходят в полупрямые, перпендикулярные AB. Рассматриваемая серия окружностей переходит в окружности, касающиеся этих двух полупрямых. Легко видеть, что у первой из них радиус в два раза меньше расстояния от ее центра до прямой AB, у второй – в 4 раза меньше расстояния от ее центра до AB, у третьей – в 6 раз и т. д. То, что таковы же отношения радиуса и расстояния от центра до прямой AB у исходных окружностей, следует из того, что из гомотетичности соответствующих окружностей, а также перпендикуляров, опущенных из их центров на прямую AB.

Рис. 2. Теорема Папа об арбелоне

Классической является задача Аполлония, сформулированная в его утерянном сочинении «О касании»: построить окружность, касающуюся трех других окружностей. Ф. Виет, решив эту задачу, в восторге воскликнул: «Я Аполлоний Галльский!» (т. е. французский). Есть разные методы решения этой задачи, в том числе при помощи инверсии. Ход решения зависит от расположения окружностей (пересекаются ли они, касаются или не имеют общих точек) и от того, какую именно окружность мы хотим построить: задача может иметь до восьми решений, так как искомая окружность может касаться каждой из трех других как внешним, так и внутренним образом. Рассмотрим случай, когда окружности не пересекаются; будем искать окружность, касающуюся всех трех внешним образом. Обозначим исходные окружности S1, S2 и S3, их радиусы, соответственно, r1, r2 и r3 (пусть r1 меньше, чем r2 и r3), а центры O1, O2 и O3. Проделаем такое преобразование: оставив центры окружностей на их местах, уменьшим радиусы окружностей S1, S2 и S3 на r1. Тогда S1 сожмется до своего центра (обозначим его O1). Задача свелась к следующей: построить окружность, касающуюся двух данных и и проходящую через данную точку Если бы мы решили эту задачу, то мы бы и исходную решили (уменьшив или увеличив радиус искомой окружности на r1). Теперь, наконец, применим инверсию относительно какой-либо окружности Σ с центром в O1. При этом окружности и перейдут в какие-то другие окружности и а вот искомая окружность превратится в ... прямую! И задача сведется к тому, чтобы найти прямую, касающуюся двух окружностей и Найдя такую прямую следует произвести ее инверсию относительно точки а затем уменьшить радиус получившейся окружности T на r1 – это и будет искомая окружность T1.

Модель 1. Построение окружности, касающейся трех данных

В предыдущей теме мы говорили о построении одной линейкой. Можно поставить вопрос и о построении одним циркулем. Как оказывается, циркуль в этом смысле предпочтительнее линейки.

В 1672 г. датский математик Г. Мор (Морендаль) в книге «Датский Евклид» показал, что все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть решены при помощи одного лишь циркуля. Однако открытие Мора было забыто: его книга вновь обнаружена лишь в 1928 г. В 1797 г. Л. Маскерони вновь повторил тот же результат.

Построения циркулем

Попробуйте, например, решить следующие задачи при помощи одного лишь циркуля:

а) построить точку A', симметричную данной точке A относительно данной прямой l;
б) увеличить данный отрезок AA1 в n раз (т. е. построить точку An, лежащую на продолжении отрезка AA1 такую, что AAn = nAA1);
в) уменьшить данный отрезок в n раз.

Решение

Построения Мора и Маскерони во многих случаях получаются довольно искусственными путями; непонятно, как авторы додумались до этих построений. А. Адлер в 1890 г. применил к построениям одним циркулем новый метод – метод инверсии, и новым способом доказал основной результат Мора–Маскерони. А именно, пусть некий чертеж осуществлен циркулем и линейкой. Адлер показал, что с помощью одного лишь циркуля можно построить образы всех его точек, прямых и окружностей при инверсии относительно любой окружности. При этом все прямые перейдут в окружности, а окружности, если не проходят через центр инверсии, тоже останутся окружностями. Полученный чертеж можно построить одним циркулем. Следовательно, одним циркулем можно решить любую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой. А именно, вначале преобразуем исходные данные с помощью инверсии относительно выбранного центра, не лежащего ни на одной из линий исходного чертежа. Далее проводим окружности, являющиеся образами прямых и окружностей, которые мы провели бы на исходном чертеже. Окончательный результат теперь должен быть снова подвергнут инверсии, и этим поставленная задача будет решена.

Теперь покажем, как построить образ точки A при инверсии относительно данной окружности с центром O и радиусом r.

Модель 2. Доказательство Адлера: все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, возможны и с помощью одного только циркуля

Поскольку равнобедренные треугольники OAB и OBA1 подобны по общему углу O,

OA1/OB = OB/OA, откуда OA1 = r2/OA.

Этот метод, к сожалению, годится лишь при OA > r/2.

Что делать, если это условие не выполняется?

Ответ

Хотя в задачах на построение обычно принимается, что циркуль может проводить сколь угодно большие и малые окружности, ясно, что все реальные циркули имеют какие-то ограничения на раствор ножек – причем ограничения и сверху, и снизу. В 1931 г. японский математик К. Янагихара показал, что все задачи на построение, разрешимые с помощью циркуля и линейки, можно решить одним лишь циркулем если величина радиуса ограничена сверху (отрезком Rmax) и снизу (отрезком Rmin), Как уже говорилось в предыдущем уроке, некоторые математики прошлого занимались вопросом о построениях, возможных циркулем постоянного раствора. Таким циркулем можно делать не все построения, выполнимые циркулем переменного радиуса: например, нельзя делить отрезки на равное число частей. Однако в теореме Янагихары разность (RmaxRmin) может быть сделана достаточно малой: таким образом, все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, можно решить и циркулем с «почти постоянным» раствором ножек.