Равновесие тел. Условия равновесия тел

В жизни встречается немало случаев, когда на тело действуют силы, но тело при этом покоится или движется прямолинейно и равномерно, т. е. не имеет ускорения. В этих случаях говорят, что тело находится в состоянии равновесия. Примерами тел, находящихся в состоянии равновесия могут являться книга, лежащая на столе; люстра, висящая на потолке; лестница, прислоненная к стене; рычаг, с помощью которого поднимают груз; рычажные весы, на которых взвешивают тело.

Из второго закона Ньютона следует, что необходимым условием равновесия является равенство нулю суммы всех сил, действующих на тело:

Однако, при соблюдении этого условия тело, имеющее ось вращения, может ускоренно вращаться, т. е. не находиться в состоянии равновесия. Опыт показывает, что для равновесия необходимо еще одно условие: алгебраическая сумма моментов сил (действующих в одной плоскости) относительно любой оси должна быть равна нулю:

Моментом силы называется физическая величина, равная произведению силы, действующей на тело, на ее плечо: M = F ∙ d. Плечом же силы d называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения.

Когда тело находится в состоянии равновесия, его движению в каком-либо направлении препятствуют другие тела. Силы, действующие со стороны тел, ограничивающих движение данного тела, часто называют силами реакции связей.

Силы реакции связей направлены перпендикулярно перемещениям, которые могли бы возникнуть при наличии той или иной связи.

Так тело, находящееся на наклонной плоскости, при отсутствии трения будет по ней скользить. Следовательно, сила реакции, действующая на тело, направлена перпендикулярно этой плоскости.

Если на полу стоит лестница, прислоненная к стене, силы реакции со стороны стены и пола также направлены перпендикулярно стене и полу потому, что в отсутствии трения лестница будет скользить именно вдоль этих поверхностей.

Решение многих задач на равновесие тел сводится к следующим случаям.

Если силы, действующие на тело, или их продолжения, пересекаются в одной точке, то для решения задачи достаточно воспользоваться только первым условием равновесия, поскольку сумма моментов всех сил относительно точки их пересечения равна нулю. Задача решается согласно правилам решения динамических задач.

Если на тело действуют параллельные силы, то для решения задачи достаточно использовать лишь второе условие равновесия.

В общем же случае необходимо записывать оба условия равновесия тела.

Рассмотрим несколько задач на равновесие, которые можно было бы считать и самостоятельным классом и частным случаем динамических задач.

Пример 1Задача про айсберг

В море плавает айсберг. Объем надводной части айсберга 100 кубометров. Чему равен объем всего айсберга?

Решение

Можно начинать решение от вопроса и продвигаться к заданным и принципиально известным величинам, а можно, независимо от заданных величин и вопроса, записать основное уравнение, описывающее состояние айсберга.

Пойдем по первому пути. Для этого запишем исходное уравнение для искомой величины и составим схему решения, предварительно пройдя через все его этапы, но не записывая формул.

Запишем искомую величину, поскольку с нее мы начинаем рассуждение.

Неизвестные величины будем в схеме обводить кружками, а при помощи отрезков будем указывать связи искомой величины с другими величинами.

Объем всего айсберга состоит из двух частей – надводной и подводной.

Объем надводной части известен, а объем подводной части – неизвестен, поэтому мы обведем его кружком.

У нас возникает другая задача. В море плавает айсберг. Как выразить объем подводной части айсберга?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, следует вспомнить, что на тело, погруженное в жидкость или в газ, действует выталкивающая сила.

Выражение для выталкивающей силы содержит объем вытесненной телом жидкости, плотность жидкости и ускорение свободного падения g. В это выражение входит объем подводной части.

Плотность жидкости (в нашем случае, плотность морской воды) можно найти в справочнике.

Величина выталкивающей силы нам не известна, обведем ее кружком.

Плавающий айсберг находится в состоянии равновесия, поэтому выталкивающая сила, действующая на него, равна силе тяжести.

Сила тяжести, в свою очередь, связана с массой всего айсберга и ускорением свободного падения g, величина которого известна.

Рис. 1

Масса айсберга неизвестна, но ее можно выразить через плотность льда и объем айсберга.

Объем неизвестен, но далее продолжать построение схемы не следует, хотя мы и не пришли ко всем известным величинам, а вернулись к исходной величине. Схему, в данном случае, можно считать завершенной.

Далее вспомним уравнения, связывающие введенные величины, и запишем систему уравнений.

Объем всего айсберга равен сумме объемов его подводной и надводной частей: V = Vн + Vп.

Объем подводной части выражаем через архимедову силу, плотность жидкости и ускорение свободного падения:

Архимедову силу выражаем через силу тяжести: FА = Fт.

Силу тяжести выражаем через массу и ускорение свободного падения: Fт = mg.

Массу выражаем через плотность тела и объем: m = ρлV.

Полученная система из пяти уравнений решается обычными математическими способами.

Данную задачу можно решать и в другой последовательности. Нужно лишь определиться с типом задачи.

Вероятно, эта задача на равновесие.

Рис. 2
Рис. 3

Если это так, то первое уравнение, которое описывает состояние айсберга, отражает равенство сил Архимеда и тяжести.

Путем математических преобразований мы можем найти неизвестную величину:


Пример 2Задача про каток

Какую силу F в горизонтальном направлении необходимо приложить к массивному катку радиуса R, чтобы вкатить его на ступеньку высоты h?

Решение
Рис. 4

Для решения задачи достаточно записать правило моментов сил: M1 = M2, где: M1 – момент силы тяжести, а M2 – момент силы F.

Момент силы определяется как величина, равная произведению силы на ее плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Согласно чертежу:

Отсюда


Пример 3Задача про лестницу

Лестница длины l стоит, упираясь верхним закругленным концом в гладкую стену, а нижним – в пол. Угол наклона лестницы к горизонту – α, ее масса – m. На лестнице, на расстоянии а от ее верхнего конца, стоит человек массы M.

С какой силой давит на пол нижний конец лестницы и как направлена эта сила?

Решение
Рис. 5

Запишем условия равновесия лестницы:

N1 – Fтр = 0; N2 – Mg – mg = 0;

Решая эту систему уравнений, имеем:

Лестница давит на пол с силой

Эта сила направлена к вертикали под углом