Тема урока «Применение свойств  квадратичной функции при решении уравнений  с параметром с условием»

Цели:

·         Обобщить и систематизировать материал по данной теме.

·         Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применение для выполнения практических заданий более высокого уровня.

·         Содействовать рациональной организации труда; развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; повысить интерес к нестандартным задачам, сформировать положительный мотив учения.

Задачи  урока:

           - Научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения.

           -Научить применять полученные теоремы для решения задач с  параметрами.

           -Развивать творческую сторону мышления. Учить осуществлять исследовательскую  деятельность.                 

           -Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных  путей решения.

               

Содержание темы: данная тема по программе 9 класса с углублённым изучением математики и может быть использована по программе 9 класса любого действующего учебника по алгебре из Федерального комплекта. Дополнительный материал к уроку

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная.

Форма проведения урока: индивидуальное выполнение учебных заданий; фронтальная проверка, коррекция и формулировка выводов, составляющих новый материал.

 

Структура урока:

I.                   Подготовительный этап (мотивация изучения нового, выявление целей урока и ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке).

II.                Актуализация знаний, умений и навыков.

III.             Постановка проблемы, ее осмысление.

IV.            Изучение нового материала (исследовательская работа).

V.               Осмысление и первичное закрепление.

VI.            Текущий контроль и проверка его результатов.

VII.         Подведение итогов урока и домашнее задание.

 

Ход урока:

 

1.      Подготовительный этап

Под музыку сменяются кадры. Учитель ставит вопрос: « Что общего на всех фотографиях?» /Везде просматривается парабола./

Самая изучаемая в школьном курсе математики функция. Она сопровождает нас везде, мы встречаемся с ней на каждом шагу, и сегодня на уроке мы должны суметь применить свойства этой замечательной функции к решению уравнений с параметром.

Сообщается тема урока.

Учитель сообщает цель урока.

Сейчас мы вспомним свойства и график квадратичной функции. Используя эти знания,  мы посвятим  наш урок уравнениям с параметром и усилим проблему различными условиями для корней.

 

2.     Актуализация знаний, умений и навыков

-       Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадратичной функции:

.

-       Какую информацию о графике функции f(x) можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

§        если старший коэффициент квадратного трёхчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх,

§        если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз,

§        если старший коэффициент квадратного трёхчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное),

§        если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,

§        если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,

§        если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,

§        абсцисса вершины параболы равна .

 

3. Постановка проблемы

 - Перед вами задания на урок. Прочтите условия  и ответьте на вопрос: что общего во всех заданиях и что их различает? /Все уравнения квадратные, с параметром, и во всех есть условие расположения корней, а различает их местоположение заданной точки./ Каковы же случаи расположения корней?

a)     Заданное число левее корней;

b)    Заданное число между корнями;

c)     Заданное число правее корней.

Перед вами инструкция проведения исследовательской работы, работая в четверках, вы должны получить результат.

                    

  4. Исследовательская работа

-       Сейчас  каждая из трех групп получила задание на решение проблемы о взаимном расположении точки, лежащей на оси ОХ, нулей функции и коэффициентов квадратного трёхчлена.  Используя инструкцию проведения исследовательской работы для своей группы, попробуйте найти связь между этими тремя объектами, сформулируйте получившейся вывод. Является ли это условие необходимым и достаточным?

 

5. Отчет об исследовательской работе

-       Представители каждой группы выходят к доске, демонстрируют график своей проблемы, записывают свою систему неравенств и формулируют вывод, объясняя, как они пришли к такому решению.

Результат отчета ребята заносят в тетрадь

 

 

 

Примерно так выглядит чертеж для ответа 1 группы:

Вывод: Оба корня квадратного уравнения  больше заданного числа М  тогда и только тогда, когда имеет место система

Вывод: Оба корня квадратного уравнения  меньше заданного числа М  тогда и только тогда, когда имеет место система

Вывод: Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения   тогда и только тогда, когда имеет место  неравенство

Af(M)<0

 

 

 

6. Закрепление материала

Используя полученные знания, решить уравнения с условиями:

1.     При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(2–a)x2-3ax+2a=0 больше ½  (решение, показанное  через проектор комментирует учитель).

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= (2–a)x2-3ax+2a.

     

    

aÎ(;2)      Ответ.. (;2).

2.     Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения  x2- 6ax+(2-2a+9a2)=0 больше 3. (Ученик у доски.)

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x2-6ax+(2-2a+9a2)

         

 

aÎ

Ответ. aÎ .

 

 

3.     При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2? (Ученики решают самостоятельно, один из них работает у доски по карточке, а затем решения сравниваются.)

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= х2 + (а + 1)х + 3.

f(2)<0;

f(2)=4+2a+2+3=2a+9<0

2a<-9

a<–4.5

Ответ. aÎ(–¥;–4.5)

4.Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x2+4ax+(1-2a+4a2)=0 меньше –1. (Самостоятельно, с  последующей проверкой,  учитель оказывает помощь на месте по требованию.)

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x2+4ax+(1-2a+4a2).

       

    

aÎ

Ответ. aÎ .

 

7. Домашнее задание:

1.     Найти все значения параметра k, при которых оба корня квадратного уравнения

                                  x2-6kx+(2-2k+9k2)=0  меньше 3.

2.     Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения

                                  (1+a)x2–3ax+4a=0 больше1.

3.     Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного уравнения x2+ax–1=0.

«Считать  несчастным  тот  день  или тот  час,  в  который  ты  не  усвоил

ничего  нового,  ничего  не  прибавил  к своему образованию»

                                                                                                      Ян Амос Коменский

 

Оцените  свои  знания  и  умения  на конец  урока.  Был  ли  полезен  урок

для каждого из вас? Чем?