Урок 8. Истинные и ложные утверждения (повторение)

План урока

  1. Работа с листом определений «Истинные и ложные утверждения».
  2. Решение обязательных бумажных задач 54–58.
  3. Решение электронных задач 198–202.
  4. Решение необязательной бумажной задачи 59.

Работа с листом определений «Истинные и ложные утверждения»

Подробное обсуждение данной темы можно найти в комментариях к курсу 1 класса. Как видите, по сравнению с материалом соответствующего листа определений из 1 класса здесь не содержится ничего нового. В случае если утверждение содержит правдивую информацию о некотором объекте, мы называем его истинным. Если утверждение содержит не правдивую (ошибочную) информацию об объекте, мы называем его ложным. Если мы по каким-либо причинам вообще не можем оценить правдивость информации, содержащейся в утверждении, мы говорим об утверждении «не известно, истинное или ложное». Кроме содержательной стороны вопроса, на данном листе определений мы напоминаем детям основные правила оформления при определении истинности утверждений. Если задание сформулировано «определи истинность утверждений», дети должны в окне около истинных утверждений поставить «И», около ложных – поставить «Л», около не известно истинных или ложных – поставить «Н».

Решение обязательных бумажных задач

Задача 54. Задачи, подобные данной (на определение истинности утверждений) являются в этой стандартными. Что касается самих утверждений, то они используют довольно широкий круг лексики, которую ребята изучили в рамках нашего курса. В первом утверждении работает понятие «всего», которое мы всегда употребляем в значении «ровно». То есть первое утверждение означает, что в цепочке есть 8 бусин, но нет девяти. Во втором утверждении содержится понятие «каждая», которое предполагает необходимость полного перебора. В нашей цепочке всего одна красная бусина и она – круглая. Значит данное утверждение истинно. Сильных учащихся в качестве дополнительного вопроса можно попросить определить истинность утверждения «В цепочке Ф каждая круглая бусина – красная». В третьем утверждении работает понятие «все разные». Третье утверждение будет ложным, ведь в цепочке есть две одинаковые бусины. Определяя истинность третьего, четвертого и пятого утверждения, кто-то из детей может не заметить, что цепочка Ф нарисована справа налево. Это, конечно, приведет к ошибкам в решении. В данной задаче три утверждения – истинны, три – ложны.

Задача 55. Если в задаче 54 истинность всех утверждений нужно определить для одной и той же цепочки бусин (цепочки Ф), то здесь цепочка (слово) для которой сформулировано утверждение, указана в самом утверждении. В данных утверждениях дети имеют возможность повторить лексику, относящуюся к порядку бусин в цепочке. Как и в предыдущей задаче, здесь половина утверждений истинны, половина – ложны.

Задача 56. Аналогичные задачи дети уже решали, только теперь мы можем сформулировать их, используя истинность (или ложность) утверждений. Здесь подходящих слов оказывается ровно пять.

Задача 57. Понятие истинности и ложности важно для нас не только с научной (содержательной) точки зрения, но и с точки зрения построения курса, то есть введения наших правил игры. Вы наверняка заметили, что постепенно формулировки задач становятся более сложными и объемными. Это затрудняет решение и проверку. Теперь из формулировки задачи приходится вычленять отдельные, простые условия, чтобы построить верное решение или сопоставить решение с условием задачи. Ясно, что процесс такого вычленения сам по себе чреват ошибками. Поэтому описание объекта в виде совокупности утверждений, которые должны быть истинными (или ложными) – возможность сделать условия задач более формальными и логически простыми, освободившись от всевозможных неточностей, которые привносит язык, когда мы пытаемся все эти условия литературно сформулировать в 1-2 предложениях. Проверить набор утверждений также можно достаточно формально.

В данном случае описание сформулировано в виде двух утверждений, которые одновременно должны быть истинными. На первый взгляд кажется, что подходящих цепочек здесь будет несколько. Например, в силу истинности первого утверждения вторая и предпоследняя фигурки могут быть ананасами или арбузами. Теперь рассмотрим второе утверждение. Груша не может быть последней (поскольку после нее стоит арбуз), предпоследней и второй (поскольку для нее не найдется такой же фигурки). Значит груша может быть первой или третьей. Пусть груша будет первой, тогда после нее должен стоять арбуз и предпоследним тоже будет арбуз, а на оставшихся местах будет два ананаса. Теперь пусть груша будет третьей, тогда после нее стоит арбуз (предпоследним) и вторым тоже будет стоять арбуз, а на оставшихся местах будут стоять два ананаса. Таким образом, эта задача будет иметь ровно два решения. Первое: груша – арбуз – ананас – арбуз – ананас. Второе: ананас – арбуз – груша – арбуз – ананас.

Задача 58. Задачи на построение цепочек по системе ложных утверждений являются более сложными, чем по системе истинных утверждений, поэтому в нашем курсе оно встречаются не слишком часто. Действительно, для решения такой задачи приходится явно или неявно строить отрицание утверждений, что довольно сложно для детей начальной школы. Так ложность первого утверждения означает, что вторая и предпоследняя фигурки – разные. Ложность второго утверждения означает, что после груши стоит не арбуз. Заметим, что при этом груша не может стоять последней, поскольку в таком случае утверждение будет не ложным, а не имеющим смысла. Если кто-то из детей допустит именно такую ошибку, то есть смысл попросить его заглянуть в следующий лист определений. Заметим, что в данном случае оба условия соблюсти не слишком сложно. Поскольку после груши стоит не арбуз, значит – ананас (соединим грушу с ананасом). Если теперь грушу сделать второй, то первое утверждение будет истинным при любом раскладе. Можно поставить второй и другую фигурку и довести решение до конца. Вообще подходящих решений здесь будет гораздо больше, чем в предыдущей задаче. Многие дети пойдут в решении другим путем, не строя отрицание формально-логическим путем. В этом случае дети, скорее всего, будут действовать методом проб и ошибок. Для начала построят цепочку фигурок как-нибудь и проверят для нее данные утверждения. Если хотя бы одно из утверждений будет для этой цепочки истинным, то фигурки надо поменять местами. Если оба утверждения окажутся ложными, значит решение мы уже нашли. Кстати, такая вероятность в данной задаче весьма высока.

Решение электронных задач

Задача 198. Здесь решений довольно много. При этом в утверждениях речь идет лишь о четырех бусинах, а в цепочке их не меньше семи, значит, остальные бусины можно будет взять произвольно. В зависимости от выбранной ребенком длины цепочки утверждения могут быть зависимы или независимы друг от друга. Например, если бусин в цепочке ровно 7, то ни третья, ни вторая с конца (предпоследняя) не могут быть седьмой. Поэтому эти бусины можно брать любой формы и цвета (главное, чтобы они были одинаковыми). Если же бусин в цепочке 8 или 9, то третья или вторая бусина с конца будет седьмой. В этом случае обе эти бусины должны быть круглые (одного цвета).

Задача 199. Как всегда в таких задачах, мы не можем требовать построения отрицания от всех детей. Но если ребенок не слишком слабый, порассуждайте на эту тему вместе. Первое утверждение ложно, значит в этой цепочке нет двух одинаковых фигурок (все фигурки – разные). Второе утверждение ложно, значит в цепочке не меньше 5 бусин (то есть пять или больше). Третье утверждение тоже ложно, значит в цепочке не все фигурки – бабочки (в цепочке есть не бабочки). Конечно, соблюсти эти три условия оказывается совсем не сложно и подходящих решений оказывается довольно много. Слабым детям как обычно можно посоветовать метод проб и ошибок – построить сначала цепочку как-нибудь, а затем для нее проверить три данных утверждения. Если хотя бы одно из них окажется не ложно, то цепочку необходимо подправить.

Задача 200. Задача на повторение предыдущего листа определений – «Одинаковые и разные цепочки». Как дети должны были вспомнить на предыдущем уроке, одинаковыми будут цепочки, которые состоят из одних и тех же объектов, стоящих в одном и том же порядке. Как мы видим, две данные цепочки состоят из одних и тех же бусин, но порядок в них пока – разный (поэтому и цепочки разные). Задача детей – поставить бусины в цепочках в одном и том же порядке. Это, конечно, можно сделать по-разному. Например, сделать цепочку Л такой же, как К или поступить наоборот – сделать цепочку К такой же как Л. Может кто-то из детей будет двигать бусины в обеих цепочках. В любом случае цепочки в результате должны оказаться одинаковыми.

Задача 201. Как видите, это обще развивающая задача, в которой дети не просто закрепляют текущий лист определений и вспоминают цепочечную лексику, но и имеют возможность познакомиться с флагами некоторых стран.

Задача 202. Необязательная. Как и во многих задачах на построение цепочки по описанию, состоящему из нескольких условий, здесь является важным, какое условие (утверждение) использовать сначала, а какое – потом. В этой задаче, конечно, удобней сначала использовать первое утверждения – сделать первую и вторую фигурку одинаковыми. После этого можно сделать третью фигурку отличной от них.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 59. Эту задачу мы предлагаем как необязательную, поскольку здесь нужно соблюсти довольно много условий. С другой стороны, каждое из условий понять и выполнить оказывается не слишком сложно. При этом подходящих цепочек оказывается много. Из первого и последнего утверждений следует, что цепочка состоит из пяти разных бусин. Добавляя к этому информацию из оставшихся утверждений о форме бусин, получаем, что три бусины – круглые и две – квадратные. При этом мы помним, что две квадратные бусины должны быть разные и три круглые – тоже разные. Теперь остается поставить квадратные бусины на второе и предпоследнее место, а на оставшиеся места – круглые бусины.