Задачи на составление линейных уравнений и методы их решения

Задачи, которые мы бы сейчас назвали задачами на составление уравнений, возникали в самых различных цивилизациях древности, вероятно, в связи с практическими потребностями: эти задачи описывали жизненные ситуации, возникающие при обмене каким-либо имуществом и при его распределении (при торговых отношениях, наследовании, сборе налогов и т. д.). Но не исключено, что некоторые задачи служили просто для упражнения ума или вызывали теоретический интерес.

В Древнем Египте был класс задач, в котором фигурировало слово аха – буквально «куча»; этим словом обозначалось неизвестное количество. Вот пример условия такой задачи: «Количество [аха] и его четвертая часть дают вместе 15». Современный школьник записал бы это условие так: x + x/4 = 15. Далее он, видимо, сложил бы коэффициенты при x, получил бы уравнение 5x/4 = 15 или (5/4) ∙ x = 15, затем для определения x поделил бы 15 на 5/4 (или вначале умножил бы обе части уравнения на 4, получив 5x = 60, а уже потом поделил бы на 5; а может быть, наоборот, поделил бы обе части на 5, а потом умножил на 4).

Египтяне так, однако, не делали. Этому препятствовало, прежде всего, отсутствие необходимой символики для соединения подобных членов. Решение, излагаемое египетским автором, начинается так. «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, вместе 5». После этого 15 делится на 5, получается 3, а затем 3 умножается на 4 и получается 12. Как и в других сохранившихся египетских математических текстах, никаких объяснений не приводится. По-видимому, метод заключался в следующем: предположим, что искомое количество равно 4; тогда его четвертая часть была бы равна 1; количество и его четвертая часть вместе были бы равны 5; однако на самом деле они равны 15; поэтому настоящее искомое количество больше предполагаемых 4 во столько же раз, во сколько 15 больше 5, то есть в 3 раза, и равно 12.

Данный метод, неоднократно встречающийся у самых разных народов, в средневековой Европе был назван regula falsi: по-русски «фальшивое правило» или «правило ложного положения». В современных обозначениях суть этого метода может быть выражена таким образом. Предположим, что требуется решить задачу, эквивалентную какому-нибудь выражению вроде, например,

a1x + a2x – a3x + c1 (e1x – e2x + e3x) – c2 (e4x + e5x) = b.

Метод ложного положения позволяет обойтись без соединения подобных членов в левой части. Решение ищется так: берется некоторое предполагаемое решение x0, далее вычисляется число b0 – значение левой части уравнения, получаемое при подстановке в нее x0 вместо x. Тогда подлинное решение x так относится к предполагаемому, как b к b0:

x/x0 = b/b0, или x = x0b/b0.

Данный метод приводит к верному результату только тогда, когда все слагаемые в левой части пропорциональны x, т. е. когда левая часть может быть преобразована к виду ax, а исходная задача эквивалентна уравнению ax = b. В этом случае

ax = ax0b/b0 = b0b/b0 = b.

Вероятно, правило ложного положения возникло из естественной идеи попытаться угадать ответ, а если угаданный ответ не удовлетворит проверке – увеличить или уменьшить его так, чтобы подошел; эту операцию увеличения или уменьшения естественно было проводить в предположении пропорциональности неизвестного правой части.

В частном случае, если положить x0 = 1, то b0 = a и мы приходим к известной формуле x = b/a. В ряде случаев египтяне действовали именно в соответствии с ней; деление было, как уже говорилось, не простым действием, в частности, потому, что делитель мог представлять собой сложную сумму вроде (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7). Но иногда было удобнее принять за x0 что-нибудь другое.

Попробуйте решить с помощью правила ложного положения две задачи из индийских математических трактатов.

1.

Если некоторое число умножить на 5, от произведения отнять его треть, остаток разделить на 10 и прибавить к этому последовательно 1/3, 1/2 и 1/4 первоначального числа, то получится 68. Как велико число (Бхаскара, «Лилавати»)?

Решение
2.

Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндха. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветам кутая. И осталась еще одна пчелка, летающая взад и вперед, привлеченная чудесным ароматом жасмина и пандануса. Скажи мне, очаровательная, сколько всего пчел (Шридхара, «Сущность вычисления»)?

Ответ

Метод ложного положения не годится для решения уравнения вроде:

a1x + а2x – a3x + f1 + c1 (e1x – e2x + e3x + f2) – c2 (e4x + e5x + f3) = b,

поскольку здесь уже нельзя сказать, что x и b пропорциональны (если f1 + c1 f2 – c2 f3 ≠ 0). Можно было бы перенести все члены без x в правую часть, но это бы потребовало алгебраических преобразований, для которых во многих случаях не было ни подходящих обозначений, ни отлаженных технических приемов. В таких случаях нередко применялось «правило двойного ложного положения» (или «сложное фальшивое правило»), изобретенное китайскими математиками. В классическом китайском трактате «Математика в девяти книгах» (дошедшая до нас редакция относится ко II в. до н. э.) этому правилу, называвшемуся «избыток–недостаток», посвящена целая книга. Арабские математики называли это правило китайским, а европейские, получившие его от арабов, – индийским, хотя как раз в индийских математических текстах оно отсутствует.

Суть правила заключалась в том, что для решения задачи, сводящейся к линейному уравнению ax + f = b, бралось два «ложных» значения x1 и x2, вычислялись соответствующие значения левой части:

b1 = ax1 + f,

b2 = ax2 + f,

а также отклонения найденных чисел от b. В принципе возможны варианты, когда оба числа b1 и b2 отклоняются от b в одну сторону (оба больше или оба меньше b) или в разные (одно больше, другое меньше b); однако в китайской математике рассматривался только последний вариант, что позволяло обходиться без действий с отрицательными числами. Меньшее из чисел (пусть это b1) называлось «недостатком», большее – «избытком». Предположим, что

d1 = b – b1,

d2 = b2 – b.

Тогда истинное решение уравнения определяется по правилу:

x = (x2 d1 + x1 d2) / (d1 + d2).

Попробуйте доказать алгебраическими средствами, что это решение действительно подходит!

Доказательство

В арабской математике правило двойного ложного положения применялось более широко: учитывалось возможности, что b1 и b2 могут отклоняться от b как в одну сторону, так и в разные. Поскольку арабская математика имела дело только с положительными числами, существовали специальные правила для разных случаев. Вот как они звучат в трактате «Сущность искусства счисления» иранского математика XV в. Бега-Эддина: «Помножь первое предположение [т. е. x1] на второе отклонение, назови это первым результатом, затем второе предположение [x2] на первое отклонение, назови это вторым результатом. Если оба отклонения одновременно в одну сторону, раздели разность обоих результатов на разность отклонений, если же в разные стороны, раздели сумму результатов на сумму отклонений, – частное будет искомым числом».

Живший в Сирии математик Коста ибн Лука (IX в.) обосновал правило двойного ложного положения геометрически – методом, напоминающим «геометрическую алгебру» греков.

Рис. 1. Геометрическое доказательство правила двойного ложного положения

Исследуется уравнение ax = b и два «предположения» x1 и x2, таких, что x1 < x < x2. Пусть на чертеже AD = xAG = x1AE = x2DO = b. Перпендикуляры GJ и EQ соответствуют значениям левых частей уравнения при x = x1 и x = x2: GJ = ax1, EQ = ax2. Отрезок JX представляет значение «первого отклонения» d1 = b – b1, отрезок PQ = XN – «второго отклонения» d2 = b2 – b. Площадь прямоугольника PFCL равна произведению второго предположения на первое отклонение, а площадь прямоугольника RNXL равна произведению первого предположения на второе отклонение. Так как площади прямоугольников NMOX и PFKO равны (см. урок 6, рис. 6), сумма площадей прямоугольников PFCL и RNXL равна площади прямоугольника RMKC, которая, в свою очередь, равна произведению неизвестной величины x на сумму отклонений JX и XN. Отсюда получается искомое правило: неизвестное x, то есть AD, равно сумме площадей прямоугольников PFCL и RNXL, деленной на сумму JX и XN, или же

x = (x2 d1 + x1 d2) / (d1 + d2).

В европейской математике правило двойного ложного положения применялось вплоть до XVIII в.: большая роль ему уделяется, в частности, в первом русском учебнике математики – «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.

Попробуйте решить следующие задачи с помощью правила двойного ложного положения.

1.

Найти такое число, что, если отнять от него 1/3 и 1/4 его, то в остатке будет 8 (ал-Хорезми).

Решение
2.

Спросил некто учителя: скажи, сколько у тебя в школе учеников, так как намереваюсь отдать тебе в учение своего сына. Учитель ответил: если придет еще учеников столько же, сколько имею, и еще полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100 (Л. Ф. Магницкий, «Арифметика»).

Решение