Квадратные уравнения в древности. Приложение площадей

Как уже было сказано, задачи, эквивалентные квадратным уравнениям, греки рассматривали в рамках геометрии. Эти задачи назывались «приложением площадей».

Рис. 1. Страница средневекового манускрипта «Начал» Евклида

Вот, например, как такие задачи формулируются в VI книге «Начал» Евклида:

  • «к данной прямой приложить равный данной прямолинейной фигуре параллелограмм, имеющий недостаток в виде параллелограмма, подобного данному»;
  • «к данной прямой приложить равный данной прямолинейной фигуре параллелограмм с избытком в виде параллелограмма, подобного данному».

Речь идет вот о чем: пусть даны отрезок AB (в терминах Евклида «прямая»), параллелограмм P и многоугольник («прямолинейная фигура») S. Тогда первая из приведенных задач – т. н. приложение с недостатком – требует построить на AB параллелограмм, состоящий из двух параллелограммов (со сторонами AC и CB, где C лежит на отрезке AB), первый из которых равновелик («равен») многоугольнику S (то есть имеет заданную площадь), а второй («недостаток») подобен параллелограмму P.

Рис. 2. Приложение с недостатком

Вторая задача – приложение с избытком – требует построить параллелограмм со стороной AD (B лежит на отрезке AD), равновеликий многоугольнику S, так, чтобы его часть – параллелограмм со стороной BD («избыток»), – был бы подобен параллелограмму P.

Рис. 3. Приложение с избытком

В частном случае параллелограмм P может быть квадратом. Тогда приложение с недостатком состоит в том, чтобы построить на отрезке AB прямоугольник, одна часть которого имеет заданную площадь, а другая является квадратом. Приложение с избытком состоит в том, чтобы построить на отрезке AB прямоугольник, который, вместе со своим «продолжением» в форме квадрата имеет заданную площадь.

Рис. 4. Приложения с недостатком и избытком для случая, когда недостаток и избыток – квадраты

Пусть AB = a, заданная площадь S, а высота искомого прямоугольника x. Тогда решить задачу о приложении с недостатком значит найти такое x, что ax – x2 = S; задача же о приложении с избытком сводится к решению уравнения ax + x2 = S. О том, как решается задача о построении квадрата заданной площади, эквивалентная уравнению x2 = S, уже говорилось.

Рассмотрим решение Евклида для случая, когда недостаток или избыток – квадрат. Отрезок AB делится пополам точкой E. Затем строятся равные друг другу квадраты AGHE и EHIB на сторонах AE и EB.

Рис. 5. 

Если надо выполнить приложение с недостатком и площадь каждого из этих квадратов (a/2)2 равна заданной площади S, то задача решена. Если площадь каждого из них меньше S, то задача не имеет решения. Если же площадь каждого квадрата превышает площадь S на некоторую величину S1, то надо построить квадрат HOQX, имеющий площадь S1. Оставшаяся часть квадрата EHIB – «гномон» EXQOIB – равна по площади S.

Рис. 6. 

Продлим сторону XQ до пересечения с отрезками AG (в точке T) и IB (в точке Y), а сторону OQ – до пересечения с отрезком AB (в точке C). Поскольку прямоугольники COIB и ATXE равны, прямоугольник ATQC равновелик гномону EXQOIB, его площадь равна S, а поскольку СQYB – квадрат, задача решена.

Рис. 7. Построение приложения с недостатком

Фактически, при данном решении меньший из двух отрезков, на которые точка C делит отрезок AB, находится как разность между половиной длины отрезка AB и стороной квадрата HOQX, который, в свою очередь, равен разности между квадратом половины длины отрезка AB и заданной площадью S:

Больший отрезок будет равен:

Получится ли такой ответ, если с помощью общей формулы корней квадратного уравнения решать уравнение, эквивалентное приложению с недостатком, то есть ax – x2 = S? При каком условии относительно величин a и S решение существует? (Сравнить с условием, сформулированным Евклидом).

Решение

Если надо выполнить приложение с избытком, то строится квадрат NHKL, площадь оторого равна сумме площадей EHIB и S. При этом площадь гномона NEBIKL равна S.

Рис. 8. Построение приложения с избытком

Если продлить прямую LN до пересечения с прямой GA (в точке R), а прямую AB – до пересечения с прямой KL (в точке D), то прямоугольник RADL – искомый, поскольку MBDL – квадрат, а прямоугольники BIKD и RAEN равны, следовательно, площадь прямоугольника RADL равна площади гномона NEBIKL, т. е. S.

Рис. 9. 

При данном решении искомый отрезок x = BD находится как разность между стороной квадрата NHKL, площадь которого равна ((a/2)2 + S), и половиной длины отрезка AB:

Получится ли такой ответ, если с помощью общей формулы корней квадратного уравнения решать уравнение, эквивалентное приложению с избытком, то есть ax + x2 = S? При каком условии решение существует?

Решение

Для Евклида важным является не столько само по себе построение, сколько доказательство существования решений у данных задач. Мы не знаем, почему греки заинтересовались такими задачами, как «приложение с избытком и недостатком». Некоторые исследователи полагают, что греки просто перевели на геометрический язык вавилонские алгебраические методы. Впрочем, мы не знаем и того, что заставляло вавилонян решать квадратные уравнения: какие-то практические потребности или (что скорее) сугубо исследовательский интерес.