Различные группы преобразований

Существуют и более широкие группы преобразований плоскости (или пространства), нежели группа перемещений. Идея, выраженная в «Эрлангенской программе» Ф. Клейна, заключалась в том, что вместе с разными группами преобразований могут существовать разные геометрии: а именно, каждая геометрия изучает те свойства фигур, которые не меняются при преобразованиях, принадлежащих данной группе (такие свойства называются инвариантами данной группы). Эта идея основывалась, прежде всего, на размышлениях об открытых в XIX в. неевклидовых геометрий, которые Клейну удалось определить как геометрии некоторых групп преобразований, отличных от перемещений, а кроме того, на опыте исторического развития проективной геометрии, изучающей проективные свойства фигур, – инварианты проективных преобразованиях.

Укажем некоторые группы преобразований, более общие, чем группа перемещений. Таковы, прежде всего, преобразования подобия, переводящие каждую фигуру в подобную ей. Из преобразований подобия в школе изучается гомотетия. Каждое преобразование подобия можно считать композицией гомотетии (с соответствующим коэффициентом и произвольным центром) и некоторого перемещения.

Рис. 1. Преобразование подобия как композиция гомотетии и перемещения


Инвариантами группы преобразований подобия являются отношения длин отрезков, а также величины углов. Корни использования подобия в геометрии теряются в глубине веков. Так, уже о Фалесе сохранилась легенда, что он измерил высоту пирамиды по высоте ее тени, поскольку знал, что солнечные лучи параллельны и что, следовательно, у всех вертикальных предметов отношение высоты предмета к длине его тени одинаково.

Рис. 2. Проекция – преобразование подобия


В «Началах» Евклида приводится ряд теорем, связанных с понятием подобия, в частности, следующая: «Если в треугольнике параллельно одной из сторон проведена некая прямая, то она пропорционально рассекает стороны треугольника; и если стороны треугольника рассечены пропорционально, то прямая, соединяющая сечения, будет параллельна оставшейся стороне треугольника».

Интересно евклидово доказательство этой теоремы, использующее идею о том, что площади треугольников с одинаковой высотой относятся как основания. Пусть дан треугольник ABC. Если известно, что DE параллельно BC, то
BD : DA = SBDE : SDAE = SDCE : SDAE = CE : AE.
Если же известно, что BD : DA = CE : AE, то
SBDE : SDAE = SDCE : SDAE, отсюда SBDE = SDCE,
а значит, эти треугольники имеют равные высоты и DE параллельно BC.

Рис. 3. Прямая, параллельная стороне, рассекает треугольник на подобные


Хотя в геометрии преобразований подобия понятие длины отрезка, равно как и площади, теряют смысл (эти величины не сохраняются при преобразованиях подобия), это мало меняет геометрию с содержательной точки зрения. Возможно, привычная нам геометрия является, скорее, геометрией преобразований подобия, нежели перемещений. Ведь она изучает свойства фигур, зависящие лишь от их формы, то есть от соотношения между длинами различных отрезков в этих фигурах, а не от длин как таковых. Во всяком случае, любой факт из области обычной геометрии можно переформулировать на языке геометрии преобразований подобия. Например, теорему Пифагора на этом языке придется сформулировать так: «В прямоугольном треугольнике сумма квадратов отношений длин катетов к длине гипотенузы равна единице». А окружностью будет называться такая линия, что отношение расстояний от любых ее точек до фиксированной точки O (центра окружности) равно 1.

Пойдем к еще более широкой группе преобразований. Уже Архимед и Аполлоний для доказательства некоторых своих теорем использовали преобразование, называемое сжатием. Пусть дана прямая l и число k > 0. Сжатием к оси l с коэффициентом k называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка A переходит в такую точку B, что эти две точки лежат на одном и том же перпендикуляре к прямой l и отношение расстояний от этой прямой до точек B и A равно k.

Рис. 4. Сжатие


Нетрудно видеть, что сжатие не является преобразованием подобия: форма фигур при сжатии, вообще говоря, не сохраняется. Окружности при сжатии переходят в эллипсы, и это свойство было использовано Архимедом для подсчета площади эллипса. Сжатие, вообще говоря, не сохраняет и углов. Тем не менее, оно переводит прямые в прямые, параллельные прямые в параллельные прямые, а также сохраняет отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.

Рис. 5. Сохранение параллельности и отношения длин параллельных отрезков при сжатии


Композиции сжатий с разными коэффициентами и перемещений называются аффинными преобразованиями. Они преобразуют одну координатную сетку, состоящую из двух семейств параллельных прямых, в другую (при этом прямоугольная сетка переходит, вообще говоря, в косоугольную).

Рис. 6. Преобразование координатной сетки при аффинных преобразованиях


При аффинных преобразованиях площади всех фигур изменяются в одно и то же число раз. Средневековый арабский математик Сабит ибн Корра рассматривал аффинные преобразования, сохраняющие площадь (т. н. эквиаффинные преобразования); они получаются, например, в результате композиции двух сжатий к взаимно перпендикулярным прямым, если произведение коэффициентов сжатия равно 1.

Рис. 7. Эквиаффинное преобразование


Его внук Ибрахим ибн Синан в трактате о площади сегмента параболы изучал аффинные преобразования общего вида. Сжатиями нередко пользовались С. Стевин и Г. Сен-Венсан.  А. Клеро называл фигуры, получающиеся друг из друга с помощью аффинных преобразований, «фигурами такого же вида»: в самом деле, аффинные преобразования переводят, например, гиперболу в гиперболу, параболу в параболу, эллипс в эллипс (частным случаем которого является окружность). Само слово «аффинный» введено Л. Эйлером, который изучал преобразование координат вида x = X/ny = Y/m. По латыни affinitas означает «родство по супругу», «свойство». Этим наименованием Эйлер подчеркивал, что между аффинными кривыми – то есть кривыми, получающимися друг из друга в результате аффинного преобразования – сходство меньше, чем между, например, подобными.

В аффинной геометрии не имеет смысла говорить, например, об остроугольных, прямоугольных либо тупоугольных треугольниках: с помощью удачно выбранного аффинного преобразования всякий треугольник может быть переведен в любой другой. Этот факт облегчает доказательство, например, теоремы о медианах. Поскольку при аффинных преобразованиях сохраняется отношение параллельных отрезков, середина отрезка переходит в его середину, а значит, медиана в медиану. Поэтому достаточно доказать теорему о медианах для какого-нибудь простого случая, например, для равностороннего треугольника, для которого она вытекает просто из его симметрии, а затем преобразовать этот треугольник в любой другой: при этом медианы перейдут в медианы и по-прежнему будут пересекаться в одной точке, а отношение частей, на которые они делят друг друга, также не изменится.

Рис. 8. Теорема о медианах – для равностороннего треугольника и для произвольного


Поскольку при аффинных преобразованиях сохраняется параллельность, параллелограммы переходят в параллелограммы, а трапеции в трапеции. Пользуясь свойствами аффинных преобразований, докажите, что у всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений сторон лежат на одной прямой.

Доказательство

Примером аффинного преобразования является параллельное проектирование плоскости π на плоскость π', при котором каждой точке P плоскости π ставится в соответствие точка P' плоскости π', лежащая на прямой, проходящей через P и параллельной заданной прямой a, пересекающей обе плоскости.

Рис. 9. Параллельное проектирование


Более широкой, нежели группа аффинных преобразований, является группа проективных преобразований, изучаемых проективной геометрией. В дальнейшем мы рассмотрим их подробнее.

Другим расширением группы преобразований подобия является группа конформных преобразований; ее инварианты изучает конформная геометрия. В отличие от аффинных, конформные преобразования не обязательно переводят прямую в прямую, но зато сохраняют углы между кривыми в точках их пересечения (напомним, что углом между кривыми называется угол между касательными в точке пересечения). Частным случаем таких преобразований является инверсия.

Группы Положение Направление Ориентация Расстояние Отношение
расстояний
Угол Площадь Отношение площадей Отношение параллельных отрезков Параллельность Прямолинейность
Тождественное
преобразование
+ + + + + + + + + + +
Переносы + + + + + + + + + +
Переносы и
повороты
+ + + + + + + + +
Перемещения + + + + + + + +
Преобразования
подобия
+ + + + + +
Эквиаффинные
преобразования
+ + + + +
Аффинные
преобразования
+ + + +
Проективные
преобразования
+
Конформные
преобразования
+
Таблица 1. Инварианты разных групп геометрических преобразований


Еще более широкой, чем все вышеперечисленные, является группа непрерывных преобразований; ее инварианты изучает топология. Среди топологических инвариантов – уникурсальность и связность графов (см. Кенигсбергские мосты), число сторон у поверхностей (см. Лист Мёбиуса), эйлерова характеристика поверхности (см. Теорема Эйлера о многогранников) и др.