Геометрические вероятности

До сих пор мы вели речь о вероятностных задачах, главным образом, в применении к играм, причем число равновероятных элементарных «случаев», с которыми мы имели дело, было конечным (например, падения игрального кубика на одну из шести граней). Такое же положение, по большому счету, существовало в теории вероятностей XVII и начала XVIII вв.: рассматриваемые задачи, как правило, брались из области игр и количество элементарных событий считалось конечным. Одним из первых, кто ввел в теорию вероятностей рассмотрение непрерывно меняющихся величин, был Ж. Л. Л. Бюффон (1707–1788) – знаменитый французский ученый, получивший известность, главным образом, как естествоиспытатель, а не как математик. Но прежде чем переходить к предложенной им задаче, до сих пор нередко фигурирующей в учебниках теории вероятностей, рассмотрим задачу более простую.

Двое приятелей договорились встретиться в выбранном месте от 12 до 13 часов. Каждый приходит в некоторый случайный момент времени, ждет другого 15 минут и уходит. Какова вероятность, что они встретятся?

Заметим, что здесь не работает классическое определение вероятности: число благоприятных случаев и число всех случаев в данной задаче бесконечны, поскольку каждый из приятелей может придти в любой момент между 12 и 13 часами, а таких моментов бесконечно много. Попробуем применить статистическое определение вероятности. Вообразим довольно большое число ситуаций того типа, как описаны в условии: заставим данных приятелей встречаться таким же образом много-много раз (при этом считается, что ситуация воспроизводится при тех же условиях: либо неудачные встречи ничему не учат участников, либо мы имеем дело с большим количеством идентичных пар приятелей, которые ведут себя аналогичным образом). Попробуем понять, чему равно (или к чему близко) отношение удачных испытаний ко всем вообще произошедшим испытаниям, то есть отношение попыток встречи, закончившихся успешно, ко всем проделанным попыткам. Представим себе на координатной плоскости квадрат, координаты всех точек которого лежат в интервале от 0 до 1 ч. Пусть во время n-ой попытки первый приятель пришел во время t1n, а второй во время t2n. Отметим эту попытку точкой нашего квадрата с координатами (t1nt2n). Когда таких точек в квадрате накопится довольно много, то, если время прихода каждого действительно случайно, точки будут разбросаны на отрезке от 0 до 1 равномерно в том смысле, что число этих точек в заданном интервале длительности τ будет приблизительно пропорционально τ и почти не будет зависит от расположения этого отрезка. Кроме того, поскольку времена прихода одного и другого никак не связаны, точки с координатами (t1nt2n) будут распределены по данному квадрату равномерно опять-таки в том смысле, что их число в квадратике площади S приблизительно пропорционально S и не зависит от его расположения.

Условие успешности попытки встречи таково: второй приятель приходит не позже, чем через 15 мин после первого, и не раньше, чем за 15 мин до первого. Иными словами,
t1n – 1/4 ч ≤ t2n ≤ t2n + 1/4 ч.
Точки, удовлетворяющие этому условию, лежат между двумя прямыми, уравнения которых t2 = t1 – 1/4 и t2 = t1 + 1/4. При увеличении числа испытаний точки ложатся внутри квадрата «все более равномерно», а отношение удачных испытаний ко всем вообще испытаниям стремится к отношению площади полосы между указанными прямыми к площади всего квадрата. Площадь квадрата, естественно, равна 1, а площадь полосы 7/16. Следовательно, вероятность того, что приятели встретятся, равна 7/16.

Рис. 1. Вероятности непрерывных величин удобно представлять в виде площадей


Ну а теперь обратимся к задаче Бюффона. Плоскость разлинована параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 1. Игла (отрезок) длины 1 падает на плоскость случайным образом. Какова вероятность, что игла пересечет какую-либо начерченную прямую?

Пусть игла каким-то образом упадет и прямая, ближайшая к ее центру, находится от этого центра на расстоянии d. Ясно, что d ≤ 1/2. Угол α между иглой и прямой (выраженный в радианной мере) лежит на отрезке от 0 до π/2. Условие, согласно которому игла пересекает прямую, d > (1/2) sin α.

Рис. 2. Игла Бюффона


Фактически, задача свелась к следующей. На плоскости с координатами (α, d) в прямоугольнике (0 ≤ α ≤ π/2; 0 ≤ d ≤ 1/2) наугад выбирается точка; какова вероятность, что она окажется ниже синусоиды d = (1/2) sin α?

Рис. 3. Вероятность попадания иглы


Ответ в задаче таков: искомая вероятность равна отношению площадей S1 и S2, где S1 – площадь между осью абсцисс и синусоидой, S2 – площадь всего прямоугольника (0 ≤ α ≤ π/2; 0 ≤ d ≤ 1/2). Площадь прямоугольника найти несложно, она равна π/4. Остается лишь найти площадь между осью абсцисс и синусоидой. Она равна 1/2.

Доказательство

Отношение площадей, а, значит, и искомая вероятность равны 2/π. Кстати, если расстояние между линейками будет равно h, а длина иглы l, то аналогичные вычисления приведут к значению 2l / (hπ).

Этот результат, несколько парадоксальный (откуда взяться π в задаче, в условии которой нет речи об окружностях?), как заметил Лаплас, может быть использован для экспериментального определения значения числа π. Кидай иглу на линованную бумагу и подсчитывай частоту пересечений с прямыми! Чем больше будет бросков, тем точнее получится результат.

Модель 1. «Игла Бюффона»


Анализ показывает, что погрешность опыта зависит от числа бросаний N приблизительно как . Так что для получения второго знака после запятой понадобятся десятки тысяч опытов... Кроме того, получить в реально поставленном, а не компьютерно промоделированном опыте высокую точность сложно по целому ряду причин (в частности, трудно точно измерить длину иглы, соблюсти одинаковое расстояние между линейками и, что, пожалуй, наиболее существенно, трудно добиться полной равновероятности различных положений иглы относительно линеек). Компьютер, конечно, существенно облегчает дело.

Геометрический метод определения вероятностей может привести к ошибкам, потому что не всегда точно ясно, в каком смысле нечто происходит «случайно». Вот знаменитый парадокс Бертрана (впервые – в «Исчислении вероятностей» Ж. Л. Ф. Бертрана, 1888 г.). В круге единичного радиуса наудачу выбирается хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет больше, чем длина стороны вписанного в круг правильного треугольника? Есть три способа решать эту задачу, к сожалению, приводящие к разным ответам.

Способ 1
Зафиксируем один из концов хорды – точку A. Точка B пусть случайно взята на окружности, и радианная мера дуги AB пусть будет равна φ, 0 ≤ φ ≤ 2π. Длина хорды AB больше стороны правильного треугольника, если 2π/3 ≤ φ ≤ 4π/3. Длина этой части окружности относится к длине всей окружности как 1/3. Следовательно, искомая вероятность равна 1/3.

Рис. 4. Первый способ выбора хорд: точки A и B равномерно распределены по окружности


Способ 2
Выбрать хорду – это значит выбрать ее середину, то есть точку в круге (каждой точке соответствует единственная хорда, для которой данная точка – середина). Хорда длиннее, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность, тогда и только тогда, когда ее середина удалена от центра меньше, чем на 1/2, то есть лежит внутри круга радиуса 1/2 с центром в центре исходной окружности. Вероятность того, что середина хорды попадет в этот круг, равна отношению площади этого круга к площади большого круга, то есть 1/4.

Рис. 5. Второй способ выбора хорд: серердины хорд равномерно распределены в круге


Способ 3
Ограничимся выбором хорд, принадлежащих одному и тому же радиусу. Хорда будет длиннее стороны правильного треугольника, если расстояние от центра до хорды меньше половины радиуса. Вероятность того, что это так, равна 1/2.

Рис. 6. Третий способ выбора хорд: середины хорд равномерно распределены по радиусам


Дело в том, что в условии задачи не прояснено, что значит «наудачу выбирается хорда». В первом способе считалось, что равновероятно положение концов хорды на окружности в том смысле, что если закреплен один из них, то вероятность второго попасть на любую дугу одной и той же длины одинакова и пропорциональна этой длине. Во втором случае считалось, что вероятность середины хорды попасть в любой квадратик внутри круга одинакова и пропорциональна площади этого квадратика. Наконец, в третьем случае считалось, что вероятность хорды проходить через тот или иной отрезок перпендикулярного диаметра пропорциональна длине этого отрезка. Все три условия являются взаимоисключающими: если, например, концы хорды распределены равномерно по окружности, то расстояние от центра окружности до хорды распределено неравномерно.