ПЛАСТИЧНОСТЬ – свойство твердых тел изменять форму и размеры под влиянием внешних нагрузок и сохранять ее, когда нагрузки перестают действовать (после снятия нагрузок).

Первое представление о свойстве материала, называемом пластичностью, дает комок пластилина, который под давлением пальцев легко меняет форму, и сохраняет новую форму после действия на него (в отличие о растянутой пружинки, которая опять сожмется, если ее отпустить В этом смысле говорят, что пружинка упруга, а пластилин пластичен. Пластилин и пластичность – слова одного корня, от греческого слова пластика, что значит лепка, от глагола «лепить» (из глины).

Чтобы получить более точное представление о свойстве пластичности, можно сделать (или представить себе) простой опыт. Пусть есть вытянутый параллелепипед (стержень) из пластилина, длинное ребро которого составляет приблизительно 10 см, а малая грань представляет собой квадрат 1 см × 1 см. Пусть этот стержень опирается концами на две опоры («мостик»). Если на средину стержня класть металлические грузики (например, монеты), то пока нагрузка невелика, изменение формы стержня на глаз незаметно. При дальнейшем нагружении обнаруживается, что в некоторый момент стержень прогибается и становится криволинейным. Если убрать все грузики, криволинейная форма все равно сохранится.

Этот опыт показывает, что стержень из материала, обладающего свойством пластичности, сопротивляется действию нагрузок, почти не изменяя свою форму, до тех пор, пока нагрузка не превысит некоторый порог, после чего происходит заметное изменение формы, сохраняющееся и после снятия нагрузки. В этом суть пластичности, но не вся – изменение формы (деформирование) зависит только от приложенной нагрузки и не изменяется само по себе с течением времени. Если деформирование при неизменной нагрузке все же происходит, то материал называют не пластическим, а вязкопластическим или вязкоупругим (см. РЕОЛОГИЯ; ПОЛЗУЧЕСТЬ). Конечно, пластилин – это знакомый и наглядный пример пластического материала. Важно то, что свойство пластичности присуще очень многим конструкционным материалам. В первую очередь, это – металлы и сплавы – сталь, железо, медь, алюминий и другие, но представление о пластическом деформировании оказывается очень полезным и для понимания процессов деформирования композиционных материалов, в том числе металлокерамических, углеродных и полимерных.

Пластичность материала как бы противопоставлена упругости: пластическое тело сохраняет приданную ему форму, а упругое – восстанавливает первоначальную. Но пластичность противопоставляется еще и хрупкости: пластическое тело отвечает на увеличение нагрузки заметным изменением формы, а хрупкое (например, стекло) – появлением трещин и разрушением.

Изучение пластичности развивается по двум направлениям: одно из них связано, в первую очередь, с проблемами техники и цель его – ответ на вопрос: если конструкция подвергается воздействию внешних сил известной величины, каково при этом меняется форма – т.е. как она деформируется? Это важно знать конструктору, но есть и еще одно важное обстоятельство: обычно пластичность предшествует разрушению, так что изучение пластических деформаций является основой прогноза прочности и долговечности конструкции.

Второе направление изучения пластичности – это исследование того, что происходит в материале, как говорят, на микроуровне, т.е., что происходит внутри материала, например, при пластическом изгибе балки. Можно, по аналогии с опытом на изгиб стержня, сделать опыт на его растяжение: верхний конец стержня (его обычно называют образцом) закрепляют, а к нижнему прикладывают нагрузку. В этом случае заметить на глаз изменение длины образца трудно, но если измерять деформации специальными приборами, то обнаруживается, что процесс деформирования оказывается похожим на тот, что и в опыте с изгибом: при постепенном возрастании растягивающей нагрузки сначала проявляются очень малые упругие деформации, когда же нагрузка достигает порогового значения, то деформации (теперь уже, в основном, пластические) становятся, во-первых, более существенными, а, во-вторых, необратимыми (т.е. не исчезают после снятия нагрузки).

При этом обнаруживаются интересные явления. Если в опыте на растяжение использовать стальной образец в виде длинной пластинки с полированной (зеркальной) поверхностью, то в процессе пластического деформирования на этой поверхности появляется много близких тонких параллельных прямых линий, ориентированных под углом 45° к оси образца (ось образца – здесь прямая линия, проходящая посредине пластинки, параллельно ее длинным сторонам). Эти линии называются линиями Людерса – Чернова (по фамилиям открывших их ученых).

Микроскопический анализ этих линий показывает, что они появляются в результате того, что в материале пластинки происходит сдвиг, т.е. один тонкий слой как бы сдвигается относительно второго, второй – относительно третьего и т.д., как карты в колоде. Можно сказать, что линии Людерса – Чернова и есть границы сдвигающихся слоев. На рис.1 схематически изображена картина такого деформирования. Эта схема позволяет понять, как такие сдвиги приводят к пластическому удлинению образца и почему после снятия нагрузки пластические деформации не исчезают. Более сложные и точные опыты показали, что пластические деформации металлов и сплавов всегда вызываются сдвигами внутри материала. Кроме того, в пористых материалах происходят деформации, по внешним проявлениям очень сходные с пластическими, но связанные с уменьшением пор. Наиболее знакомым пористым материалом является пенопласт; в технике пористые материалы создает порошковая металлургия, где детали прессуются из металлического порошка.

Можно довольно точно описать картину деформирования, считая, что упругие деформации тела – это результат изменения расстояния между атомами, из которых оно состоит, а пластические деформации – результат сдвигов.

Итак, пластичность – результат сдвигов. А как происходят сами сдвиги? На этот вопрос (и на многие другие) отвечают разделы физики: физика твердого тела, теория дислокаций, физика металлов и т.д.

Таковы два направления, по которым исследуется пластичности, первое называется феноменологическим – оно изучает феномен пластичности так, как его можно наблюдать в опытах с образцами и нагрузками, и не опирается на результаты микроскопических опытов. Феноменологическое изучение пластичности металлов начинается с классического опыта на растяжение. Его результаты представляются в виде графиков (рис. 2), где по вертикальной оси откладывается напряжение s, равное растягивающей силе P, отнесенной к площади сечения образца F, т.е.

s = P/F

а по горизонтали – деформация образца e, равная удлинению dl образца (под действием силы P), отнесенному к его первоначальной длине l.

e = dl/l

На рис. 2 изображен график, который называется «кривой растяжения»; материал – одна из марок стали. В начале нагружения (на графике от точки O до точки A) напряжение и деформация оказываются пропорциональными, т.е. имеет место закон Гука. Коэффициент пропорциональности называется модулем упругости (или модулем Юнга) E. Точка A на графике называется пределом упругости – после нее пропорциональность, свойственная упругости, сменяется криволинейной зависимостью, причем теперь деформация растет значительно быстрее, чем напряжение. Если в некоторой точке B мы начнем уменьшать напряжение (это называется разгрузкой), то на графике получится кривая, мало отличающаяся от прямой – BC со стрелкой вниз. Если, доведя напряжение до нуля, снова его увеличивать, на графике получится кривая CB1 (со стрелкой вверх), причем далее эта кривая плавно перейдет в кривую B1D, которая получилась бы при деформировании образца без разгрузки. Для простоты обычно обе кривые, BC и CB1, заменяют отрезком прямой B2C, который параллелен отрезку OA.

Есть несколько вариантов теории пластичности, которые отличаются, с одной стороны, тем, насколько точно они учитывают реальные особенности процесса деформирования упруго-пластического материала, и, с другой стороны, используемым математическим аппаратом. Одни теории являются менее точными, но более простыми и удобными для расчетов, что очень важно, так как расчет пластических деформаций в телах сложной формы представляет собой очень трудную задачу даже при использовании современных компьютеров. Другие теории могли бы обеспечить высокую точность, но приводят к очень большим трудностям, как математическим, так и экспериментальным. По-видимому, создание «идеальной» теории, сочетающей физическую наглядность, математическую простоту и в то же время обеспечивающей адекватное описание процессов пластического деформирования, является делом будущего. Но даже «простые» теории пластичности на самом деле достаточно сложны, так как требуют знания и понимания многих экспериментальных результатов и серьезной математической подготовки. В качестве примера можно рассмотреть идею самой простой теории пластичности.

В самом простом случае опыта на растяжение образца процесс упругого деформирования описывается законом Гука

s = E/e

За пределом упругости пропорциональности нет, но экспериментальную кривую растяжения можно описать, если считать, что модуль упругости E при этом перестает быть постоянной величиной и становится функцией деформации, т.е.

В этих формулах появляется новая функция w = w(e), которая называется функцией пластичности и должна быть найдена из экспериментальных данных.

Видно, что функция w(e) тождественно равна нулю при упругих деформациях и возрастает при пластических. Тогда ясно, что и упругие, и пластические деформации описываются уравнением, обобщающим закон Гука

s = E[1 – w (e)]e

Это уравнение описывает кривую деформирования, из которой оно, по существу, и получено и это так, пока речь идет только об опыте на растяжение. Но теория пластичности должна «уметь» описывать любые процессы деформирования – например, и кручение, и изгиб, и их совместное проявление, а для этого формулу необходимо существенно обобщить и сформулировать аналогичные по сути, но неизмеримо более сложные соотношения, которые связывали бы шесть компонент тензора деформаций с шестью компонентами тензора напряжений. Здесь и начинаются сложности.

Классическая деформационная теория называется «теорией малых упругопластических деформаций». Эта теория основана на трех экспериментальных фактах:

1. При различных упругопластических деформациях в каждой точке тела существует универсальная функциональная зависимость между среднеквадратичным значением сдвиговых деформаций и аналогичным среднеквадратичным значением сдвиговых напряжений.

2. При упругопластическом деформировании материала изменение объема всегда происходит упруго.

3. Первые два утверждения справедливы только при условии, что все внешние силы, действующие на тело, возрастают пропорционально друг другу (точнее – пропорционально одному параметру, например, времени). Это так называемое «простое» или «пропорциональное» нагружение.

Чтобы правильно понять эти три утверждения, нужно принять во внимание следующее:

Теория пластичности, как и все эмпирические теории, по своему существу является теорией приближенной. Это означает, что при известных условиях, когда она может описывать физическую реальность («условия применимости»), эмпирическая теория эту реальность описывает с относительно небольшой, но всегда присутствующей погрешностью (проще говоря, с небольшой ошибкой).

Теория пластичности, о которой идет речь, может дать ответ с погрешностью, близкой к 10%. И почти всегда такая погрешность оказывается вполне приемлемой – говорят, что «теория хорошо работает».

Математическая формулировка теории: пусть есть тензор деформации e ij и тензор напряжений sij. Требуется написать формулы (соотношения), которые связывают эти тензоры при малых упругопластических деформациях, подобно тому, как закон Гука связывает их при упругих деформациях.

Учитывая различные закономерности объемного и сдвигового деформирования, можно разделить тензоры на объемную (шаровую) и сдвиговую (девиаторную) части:

e ij = 1/3 Q dij + eij

sij = sdij + sij

(см. ДЕФОРМАЦИЯ;)

Следующий шаг – установление связи сдвиговых напряжений с деформацииями, поскольку пластичность – это сдвиги.

Для девиатора деформаций среднеквадратичный сдвиг в данной точке определяется формулой

Аналогично, среднеквадратичное сдвиговое напряжение определяется:

(величины и часто называют «интенсивностями» напряжений и деформаций). Теперь можно математически записать первый постулат:

Это и есть универсальная функциональная зависимость между и , а универсальна она в том смысле, что имеет место в любой точке тела и при любом виде деформаций (изгиб, кручение, их комбинация и т.д.). Функция считается известной, а фактически должна быть найдена из обработки результатов эксперимента. Так как в силу универсальности она одинакова всегда, в частности, в любом опыте, то удобно использовать опыт на кручение трубки, из которого эта функция определяется особенно легко.

В пределах упругости, и зависимость между и превращается в закон Гука. В теории пластичности считается, что в любой точке тела пластические деформации появляются тогда, когда величина достигает некоторого значения es. Это значение находится из эксперимента и называется пределом текучести по деформациям. Таким образом, условие появления первых пластических деформаций запишется в виде

Это условие называется условием пластичности Хубера – Мизеса. Таким образом, можно окончательно записать

если

если

Второй постулат записывается в виде: s = KQ

где s – среднее нормальное напряжение (давление) в данной точке, а Q – относительное изменение объема малой частицы, окружающей эту точку. Число K > 0 называется объемным модулем упругости. Таким образом, относительное изменение объема малой частицы пропорционально среднему нормальному напряжению в этой частице.

Теперь можно записать определяющие соотношения теории малых упругопластических деформаций:

Девиаторы напряжений и деформаций связаны пропорциональной зависимостью

Коэффициент пропорциональности за пределами упругости перестает быть постоянным и становится переменной величиной:

Функция становится отличной от нуля при выполнении неравенства, связанного с условиями пластичности Хубера–Мизеса

Шаровые тензоры напряжений деформаций всегда пропорциональны

s·dij = KQ·dij

или, что эквивалентно,

s = KQ

Все это справедливо только при пропорциональном нагружении, которое иногда называют простым, так как сложное нагружение – это непропорциональное нагружение. Оказывается, что в опыте, когда трубка подвергается растяжению силой P и кручению моментом M, деформации будут различными, в зависимости от того, как прикладываются нагрузки: сразу обе, сначала M, потом P, или наоборот. Это обстоятельство приводит к тому, что теорию пластичности при сложном нагружении уже нельзя построить по аналогии с теорией упругости.

Приведенная теория была разработана, экспериментально и теоретически обоснована и внедрена в инженерную практику работами А.Ильюшина, который опирался на работы своих предшественников – в первую очередь, Х.Хенки и Р.фон Мизеса.

Владимир Кузнецов

ЛИТЕРАТУРА

Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов, М., Физматгиз, 1959
Гордон Дж. Почему мы не проваливаемся сквозь пол? М., Изд-во «Мир», 1971
Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М., Изд-во «Высшая школа», 1981