Урок 1.12 Обратные тригонометрические функции в уравнениях с параметром

Пример 1

Решить при всех a уравнение arcsin x + arccos ax = 0.

Решение

Вычитая из обеих частей уравнения arcsin x, получим arccos ax = –arcsin x.
Из оценок и уравнения arccos ax = –arcsin x следует,
что или .
Значит, получаем ограничения 0 ≤ ax ≤ 1 и –1 ≤ x ≤ 0.
Так как функция y = cos x убывает на отрезке , то исходное уравнение эквивалентно
cos(arccos ax) = cos(–arcsin x) при ограничениях 0 ≤ ax ≤ 1 и –1 ≤ x ≤ 0.
Замечая cos(arccos ax) = ax и
(знак перед корнем плюс, так как ), получим, что задача сводится к нахождению решений уравнения , удовлетворяющих неравенствам 0 ≤ ax ≤ 1 и –1 ≤ x ≤ 0.
Так как ax ≥ 0, то обе части уравнения можно возвести в квадрат и получить эквивалентное равенство (ax)2 = 1 – x2. Добавляя к обеим частям уравнения x2 и вынося x2 за скобки, получим (a2 + 1)x2 = 1, или .
Учитывая ограничение x ≤ 0, находим .
Из оценки следует .
Из ограничения 0 ≤ ax получаем , или a ≤ 0.
Из оценки следует .

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"