Уроки 46–48. Стратегии в играх на шахматной доске

Материалы к урокам: лист определений «Стратегии в играх на шахматной доске», бумажные задачи 46–53 (2 часть), занятия 17 и 18 на Клавиатурном тренажере.

На первом уроке по данной теме мы рекомендуем изучить новый лист определений и решить обязательные задачи 46 и 47 из бумажного учебника. На втором и третьем уроке работа с бумажным учебником интегрируется с работой на клавиатурном тренажере. Если класс у вас сильный и объема задач ребятам не хватит, можно взять задачи из предыдущей темы «Выигрышные стратегии и большие числа» (поскольку задач там действительно много), со страниц 30–33 (выборочно) или из урока выравнивания.

Стратегии в играх на шахматной доске

Теперь ребятам предстоит познакомиться с серией игр, для которых так же, как и для игры в Камешки, можно строить выигрышные стратегии путем полного перебора и исследования всех возможных позиций игры. Но теперь позиции будут расположены не на одномерной числовой линейке, а на двумерной плоскости (в большинстве игр это будет поле 8×8 клеток, хотя, вообще говоря, поле может быть любого (конечного) размера).

Переход на двумерное поле порождает дополнительную трудность в переборе и выявлении выигрышных и проигрышных позиций. Если на числовой линейке, раскрашивая позиции, мы соблюдаем естественный порядок их следования, то на шахматной доске мы должны выбирать свой порядок перебора и раскрашивания клеток.

Другая трудность возникает на этапе формулирования выигрышной стратегии. Исследуя игру в Камешки, мы формулировали выигрышную стратегию двумя способами – либо пошагово, объясняя, как должен ходить игрок на каждом ходу в зависимости от ходов противника, либо в виде общего правила, основанного на найденной закономерности в расположении выигрышных и проигрышных позиций на числовой линейке. В играх же на шахматной доске пошаговое изложение выигрышной стратегии крайне затруднительно из-за большого числа вариантов ходов противника, а закономерность в раскраске позиций не всегда легко выделить. Поэтому мы часто будем строить и формулировать выигрышные стратегии в играх на шахматной доске, опираясь на раскрашенные позиции – клетки игрового поля.
Хочется обратить особое внимание на то, что наша терминология расходится с общепринятой шахматной терминологией. Шахматисты называют поле для игры в шахматы шахматной доской, а клетки шахматной доски – полями. Наверное, если наша книга, где шахматная доска названа полем, а поля – клетками, попадет в руки шахматисту, это произведет на него такое же впечатление, какое на нас с вами произвел бы рассказ о письменности, в котором слова назывались бы буквами, а буквы – значками. Но дело в том, что термин «поле» у нас занят, еще начиная с работы с Роботом. Также этот термин давно используется в описании игр: например, поле 3х3 для игры в Крестики-нолики. «Клетка поля» тоже давно задействованный термин. Нам бы не хотелось сейчас полностью менять терминологию, подстраиваясь под шахматную. Все-таки мы будем обсуждать не игру в шахматы, а будем использовать только «поле» – шахматную доску.

Решение бумажных задач

Задача 46. Данная задача позволит ребятам познакомиться с новой игрой Король. Хотя эта игра имеет несложные правила, все-таки для начала нужно освоиться, «почувствовать» новую игру.

Следует заранее приготовить все необходимое для игры – поле (либо настоящую шахматную доску, либо поле с листа вырезания) и фишку (либо шахматного короля, либо пластмассовую или бумажную фишку). Если вы хотите вначале продемонстрировать 2–3 партии на доске, то проще всего это сделать, расчертив в виде шахматного поля металлическую доску и передвигая по ней какую-нибудь магнитную фигурку.

После того как все необходимое для игры подготовлено, каждая группа выбирает начальную позицию. Начальная позиция выбирается один раз для всех партий турнира и записывается каждым членом группы в соответствующее окно. Затем члены группы играют круговой турнир (как всегда, для экономии времени можно проводить по две партии одновременно и затем меняться партнерами). По ходу проведения турнира нужно заполнять клетки таблицы (имена игроков по вертикали и горизонтали нужно, как обычно, внести заранее). По окончании турнира подсчитываются очки и выявляется победитель.

В условии задачи не сказано ничего о выборе очередности хода в каждой партии турнира. Как выяснится позднее, в зависимости от выбранной начальной позиции один из игроков имеет выигрышную стратегию. Если вы хотите, чтобы в каждой партии оба игрока имели одинаковые шансы на победу, предложите ребятам перед началом каждой партии выяснять очередность хода с помощью жребия или считалки.

В этой задаче можно, кроме знакомства с новой игрой, провести некоторую пропедевтику к поиску выигрышной стратегии в данной игре (этому будут посвящены задачи 47 и 48). Для этого попросите ребят при заполнении турнирной таблицы помечать в каждой партии, кто был Первым. В таком случае по окончании турнира ребята смогут сказать, кто чаще выигрывал – Первый или Второй. Это даст возможность сформулировать гипотезу о том, какой является выбранная в качестве начальной позиция – выигрышной или проигрышной. Лучше всю эту информацию собрать воедино на доске. При решении следующей задачи ребята смогут ее проверить.

Задача 47. Гипотезы для этой задачи ребята могли получить в ходе решения задачи 46, а вот точный ответ они могут дать, только пометив все возможные позиции (все клетки поля) как выигрышные или проигрышные. Возможно, вам придется в этой задаче помочь кому-то из ребят индивидуально или даже несколько клеток раскрасить совместными усилиями класса.
Самым актуальным здесь будет вопрос последовательности, порядка раскраски клеток. Естественно мы начинаем с заключительной позиции – клетки а1, она будет проигрышной позицией.

Видимо, далее следует раскрасить красным все клетки доски, из которых можно попасть в а1 за один ход (а2, в2, в1). Напомним, что, по нашему определению, позиция называется выигрышной, если есть хотя бы один ход, который изменяет ее на проигрышную. Ясно, что клетки а2, в2 и в1 – выигрышные позиции, поэтому и помечаем их красным.

Дальше встает вопрос о том, какие клетки и в каком порядке раскрашивать. Очевидно, нужно искать те позиции, для которых все клетки, куда возможны ходы, уже раскрашены: ведь только такие позиции мы можем оценить как выигрышные или проигрышные. Например, возьмем клетку с3. Из нее можно попасть в клетки в2, в3 и с2, но пока не все эти позиции раскрашены, поэтому и клетку с3 мы раскрасить пока не можем. Необходимо найти позицию, из которой можно сделать ходы только в уже помеченные позиции, и начать с нее. Например, такой будет позиция с1, ведь из нее можно сделать ход только в в1 (выигрышную позицию), значит, с1 – проигрышная позиция. Аналогично выясняется, что а3 – проигрышная позиция.

Теперь уже можно раскрасить клетки с2 и в3, они обе будут выигрышными, так как в результате одного хода из них могут получиться проигрышные позиции (с1 и а3 соответственно). Клетку с3 раскрасим синим – эта позиция проигрышная, так как все ходы из нее ведут в выигрышные позиции (в3, в2 и с2).

Далее будем раскрашивать следующий «угловой слой» клеток поля, ограничивающий раскрашенные уже клетки сверху и справа, двигаясь слева направо и снизу вверх (последняя раскрашенная клетка – клетка диагонального ряда d4). Все позиции этого слоя оказываются выигрышными позициями, поскольку для каждой существует ход в проигрышную позицию.

Так ребята раскрашивают клетки поля слоями, двигаясь снизу вверх и слева направо, пока не доходят до верхнего правого угла поля.


Заканчивается решение задачи заполнением окон в ответе. Ясно, что если начальная позиция – выигрышная (клетка раскрашена красным), то Первый может, передвигая на каждом своем ходу короля на синюю клетку, выиграть при любой игре Второго, т. е. имеет выигрышную стратегию. Если же начальная позиция в синей клетке, то выигрышной стратегией обладает Второй (он обязательно окажется в выигрышной позиции после первого хода Первого).

Заметим, что один ответ к задаче без раскраски шахматного поля не может говорить о понимании учащимся выигрышной стратегии в данной игре, ведь окна могут быть заполнены совершенно формально, по аналогии с игрой в Камешки, где красная начальная позиция говорит о том, что выигрышная стратегия имеется у Первого, а синяя – о том, что у Второго. Поэтому главное в этой задаче – именно раскраска клеток шахматной доски.

Задача 48. Как и аналогичные бумажные задачи 23 и 32, данная задача имеет целью проверить, понимают ли ребята, как следовать построенной в предыдущей задаче выигрышной стратегии при проведении реальных партий. Следовать выигрышной стратегии в данной задаче может только Первый, поэтому за Первого в равной степени должен поиграть каждый учащийся. Именно Первый в начале игры должен правильно выбрать начальную позицию (клетку, помеченную на поле в задаче 47 красным) и далее делать такие ходы, после которых король бы всегда оказывался в проигрышной позиции (синие клетки поля из задачи 47). Если все эти условия соблюдаются, то оба утверждения в рамке в данной задаче оказываются истинными. Если у какой-то пары получились другие результаты, обсудите с этими детьми еще раз задание, попросите их сыграть еще одну партию (Первым должен быть тот учащийся, который проиграл, будучи Первым). При этом Первый должен подробно объяснять все свои действия, начиная с выбора начальной позиции.

Задача 49. Как и в бумажной задаче 46, ребята здесь знакомятся с правилами новой игры в ходе проведения кругового турнира в группе. Существенное отличие игры Ладья состоит в том, что начальная позиция фиксирована (клетка а1). Можно начать работу над задачей с нескольких тренировочных партий на доске под контролем всего класса. Если вы хотите использовать опыт, полученный при решении этой задачи в ходе решения задачи 50, есть смысл помечать в таблице, кто из ребят в каждой партии был Первым, а кто – Вторым, чтобы впоследствии можно было посчитать, в скольких партиях турнира победил Первый, а в скольких – Второй. Скорее всего, большинство детей обратят внимание на то, что Второй выигрывает в этой игре чаще.

Задача 50. Если в предыдущей задаче учащиеся обратили внимание на то, что Второй выигрывает чаще, то здесь им придется доказать, что Второй действительно обладает выигрышной стратегией. Для этого необходимо пометить все клетки поля, т. е. определить выигрышные или проигрышные позиции. Если в задаче 47 вам пришлось помогать ребятам при раскрашивании позиций довольно активно, то постарайтесь здесь предоставить им больше самостоятельности – ограничьтесь наводящими вопросами и замечаниями, причем по возможности в индивидуальном порядке.

Как и в задаче 47, наверное, наибольшее число вопросов вызовет порядок раскрашивания клеток поля. Естественно начинать с заключительной позиции – клетки h8 (проигрышная позиция). Дальше действует знакомый из задачи 47 принцип сначала раскрасить все позиции, из которых можно попасть в h8 за один ход, – эти позиции будут выигрышными. Таким образом, оказываются помеченными красным все клетки верхнего ряда и крайнего правого столбца. Дальше выбираем позицию, все ходы из которой приводят в раскрашенные клетки – g7. Она оказывается проигрышной, так как из нее можно попасть только в выигрышные позиции (g8 и h7). После этого мы можем раскрасить все оставшиеся клетки второй строки и второго справа столбца.


Как видите, порядок раскрашивания здесь несколько иной, чем в задаче 47. Мы опять раскрашиваем клетки «угловыми слоями», но начинаем с самого большого слоя, причем с диагональной клетки. Иной будет и рисунок раскрашенных клеток поля (см. картинку). Здесь он более простой: все позиции диагонали а1–h8 – проигрышные, остальные позиции – выигрышные. Поскольку начальная позиция в игре – проигрышная, то выигрышной стратегией здесь обладает Второй. Она заключается в том, чтобы на каждом своем ходу ставить фишку в одну из клеток диагонального ряда а1–h8.

Задача 51. Ответ: 3•(12 – 25:5)+10; 5•(11 – 9)+30:(39 – 29).

Задача 52. Необязательная. Конечно, после выяснения, откуда Робот может дважды пойти влево, задача становится совсем простой и требует аккуратного выписывания. Если кого-то из детей смутит то, что Робот дважды ходит по одним и тем же полям (на самом деле это часто встречалось и раньше), то обсудите с ними, что именно им не нравится. Возможно, что им неприятна «неэкономность». Здесь уместно сказать несколько слов о сложности вычисления шагов (в данном случае Робота) и спросить, за сколько же шагов удастся покрасить нужную картинку и почему шагов не может быть меньше.

Задача 53. Необязательная. Заметим, что, чем меньше клеток в исходной фигуре, тем меньше перебор и проще решение. Например, в данной фигуре три целые клетки и две половинки, значит, в каждую из искомых частей входит по крайней мере по половинке и по целой клетке. Также становится ясно, что одну из целых клеток исходной фигуры придется делить пополам. Теперь дело за малым – выяснить, какую целую клетку нужно делить и как.
Ответ: