Урок 21–22. Проект "Снаружи и внутри"

Практическая цель проекта – научиться выигрывать в игру «Веревочка».
Методическая цель проекта – продолжение знакомства с началами топологии, обучение построению математической модели игровой ситуации.

План проведения проекта

Урок 1

  1. Знакомство с игрой «Веревочка».
  2. Парная игра ребят в «Веревочку».
  3. Решение задач 5 и 6 из тетради проектов.
  4. Общее обсуждение итогов урока.

Урок 2

  1. Вводное обсуждение.
  2. Решение задач 7 и 8 из тетради проектов.
  3. Парная игра ребят в «Веревочку».

О проекте

В чем состоит игра «Веревочка», которую вы с детьми будете обсуждать в этом проекте? Один игрок берет веревочку и раскладывает ее на столе примерно так (вид сверху):


Потом он предлагает второму игроку поставить палец в одну из петель веревки. При этом задача первого игрока стянуть веревку двумя руками за два конца так, чтобы она не зацепилась за палец соперника.

Перед началом проекта от вас потребуется некоторая подготовительная работа. Во-первых, нужно приготовить веревку. Самая лучшая – это веревочка средней мягкости и средней толщины (3-6 мм). Длина веревочки должна быть около 2 м (чем толще, тем длиннее). Лучше если веревка будет из натурального материала.

Теперь поиграйте в эту игру сами с собой. Выкладывайте веревки как угодно, следите только за тем, чтобы она сама себя не пересекала. Например, так класть веревку не надо:

А так – очень даже можно:

Затем постарайтесь построить свою собственную теорию, как глядя на веревку на столе и палец, определить, зацепит ли веревка палец при стягивании?

Когда вы все это реально проделаете, можете читать дальше.

Как выигрывать в игру «Веревочка»?

Когда человек взялся за концы веревки, то его руки и тело вместе с веревкой образуют замкнутую кривую. Для наших целей мы будем изображать человека просто толстым черным отрезком этой кривой:

Как вы помните, мы кладем веревку так, чтобы она никогда не пересекала себя. Не пересекающие себя кривые называются несамопересекающимися.

Замкнутая несамопересекающаяся кривая на плоскости (в нашем случае на плоскости стола) разбивает эту плоскость на две части – внутри кривой и снаружи кривой. Изобразим палец ученика, поставленный на стол, просто жирной точкой:

Чтобы узнать, зацепится ли веревка за палец, надо суметь определить, лежит ли точка внутри кривой или снаружи от кривой. Если палец лежит внутри кривой, то веревка зацепится за палец, если снаружи – то нет.

В простейшем случае все и так видно:

Вот более сложный случай:

Закрасим получившуюся область:


Пойдем из нашей точки внутри кривой напрямик к какой-нибудь точке, лежащей снаружи:


При этом мы будем пересекать нашу кривую несколько раз (переходя из закрашенной области в незакрашенную).

Интересно, что как бы мы ни разложили веревочку и какую бы точку снаружи кривой мы не выбрали, число пересечений с кривой (по ходу продвижения от наружной точки к внутренней) всегда будет нечетным – 1, 3, 5, 7 и т. д.

Теперь выберем точку (поставим палец) снаружи кривой и снова пойдем напрямик от этой точки пальца к любой точке выбранной нами точке снаружи кривой. При этом мы снова будем пересекать нашу кривую несколько раз. Интересно, что как бы мы ни разложили веревочку и какую бы точку снаружи кривой мы не выбрали, число пересечений с кривой (по ходу продвижения от внутренней точки к внутренней) всегда будет четным – 0, 2, 4, 6 и т. д.

Два этих важных вывода надо запомнить. Теперь давайте подумаем, как они помогут нам выигрывать.

Вернемся к исходной ситуации:

Идя от точки, расположенной внутри кривой, наружу, мы пересекаем нечетное число границ. Видя перед собой кривую, мы можем подсчитать число границ довольно легко. Это первое умение, которое нужно в нашей игре.

Это однако еще не все. Ведь если ребенок (пусть даже наугад) поставил палец внутрь кривой, нам не удастся сдернуть веревку.

Как тут быть?

Мы уже поняли, что если наш соперник поставил палец внутрь кривой, то веревочка за него зацепится. Если снаружи кривой – то не зацепится. Но мы не можем повлиять на то, куда второй игрок поставит палец.
Как тут быть?

Во всем обсуждении до настоящего места мы полностью (и сознательно) скрывали от вас одно обстоятельство. Оно состоит в том, что после того, как ребенок поставил палец, вы можете взять веревку за концы двумя различными способами:

При одном из этих способов точка окажется внутри, при другом – снаружи! Почему так? Наверняка у вас появилось какое-либо объяснение. Вот как можно рассуждать: «Пойдем от пальца по прямой вправо. Если, выйдя за пределы кривой, мы сделали четное число пересечений, значит можно замкнуть кривую слева. Точка лежит вне замкнутой кривой. И т.д.»

При одном из этих способов точка окажется внутри, при другом – снаружи! Чтобы выбрать, с какой стороны подойти к веревочке и взяться за ее концы, вам помогут соображения четности-нечетности пересечений, изложенные выше.

Таким образом, у нас получается следующая стратегия игры (точнее выигрыша в игре):

  1. После того как веревка разложена на столе (неважно, вами или соперником) и ваш соперник поставил палец в одну из петлей веревочки, мысленно соедините концы веревки линией с любой стороны (конечно, эта линия не должна пересекать веревку) и выберите любую точку снаружи от получившейся замкнутой кривой.
  2. Теперь мысленно проведите отрезок от выбранной точки до пальца соперника и посчитайте, сколько раз этот отрезок пересекает веревочку. При этом получится один из двух вариантов:

А) Если число пересечений четно, то вы правильно выбрали сторону, с которой соединили концы веревочки, то есть вам нужно взяться за концы веревочки, подойдя именно с той стороны, с которой проведена была ваша воображаемая линия.
Б) Если число пересечений нечетно, то вам нужно подойти к веревочке и взяться за концы с противоположной стороны.

Практика

Итак, веревка лежит на столе. Палец поставлен. Вам нужно добиться, чтобы он оказался снаружи от веревки при стягивании:

Выберем какую-нибудь точку вне веревки, например, такую:

Соединим (мысленно) эту точку и палец ребенка линией (путем). Подойдя со стороны выбранной точки и взяв веревку за два конца, мы получим следующее:

Если путь пересекает веревку четное число раз и мы потянем за нее, то она (зацепится/ не зацепится) за палец (вычеркните неправильное).

Но вы могли подойти к столу и иначе:

Теперь точка, которую вы поставили, - снаружи, значит палец – (?) – внутри или снаружи?

Итак, поставив ребенка у стола и выложив веревку, как это описывалось раньше, мы оставляем за собой право выбора – подойти к столу справа или слева:

Если теперь вы ставите палец, то постарайтесь отрежиссировать ситуацию так, чтобы заранее знать, с какой стороны стола подойдет ребенок. Значит, кроме математических знаний нужно еще некоторое искусство фокусника, «ловкость рук».

Если дети постепенно начнут догадываться, что важно, откуда подходить – это уже шаг к решению.


Урок 1. Знакомство с игрой веревочка

Как и любой другой, данный проект должен начинаться с постановки практической цели. После этого ребята знакомятся с новой игрой. Лучше всего просто показать ребятам несколько партий. Для этого разложите веревочку на столе. Напомним, веревочка не должна пересекать сама себя, а изгибаться она может сколько угодно. Лучше вначале изгибать веревочку так, чтобы игровая ситуация получалась не слишком простая. Теперь пригласите к доске кого-то из учащихся, лучше сильного ученика и попросите его поставить палец где-то между петель веревочки. Объясните классу, что ваша задача – стянуть веревочку за концы, не задев палец ребенка. Конечно, у вас это получается. Теперь попросите ребенка поставить палец в другое место, и опять стяните веревочку. Затем разложите веревочку иначе и сыграйте еще пару партий. После 3-4 партий у ребят начнет складываться впечатление, что как бы ни шла партия, игрок выигрывает всегда. Вот теперь поменяйтесь местами с ребенком – разложите веревочку, поставьте палей и попросите его стянуть веревочку. Конечно, палец надо поставить так, чтобы у ребенка не получилось стянуть веревочку с наиболее удобной для него позиции. Если ребенок догадается подойти с другого конца стола, значит, он уже уловил топологическую суть этой игры. Скорее всего, этого не произойдет, и веревочка зацепится за ваш палец. Так сыграйте с ребенком еще 2-3 партии. Дети при этом заметит, что ребенок гораздо чаще проигрывает. Так они догадаются, что учитель знает некий секрет, позволяющий в этой игре выигрывать. Можете в конце первого этапа урока озвучить эту мысль. Пообещайте ребятам, что в конце этого проекта ребята узнают этот секрет и сами смогут играть так, чтобы всегда выигрывать.

Парная игра в «Веревочку»

Для начала предложите ребятам разбиться на пары и поиграть между собой. Проходя по классу, проверяйте, правильно ли ребята раскладывают веревочку. В большинстве пар партии будут вначале проходить случайным образом – случайно выиграл или случайно проиграл. Однако сильные дети потихоньку начнут улавливать некоторые закономерности, особенно если веревочку раскладывать, не слишком петляя. Чтобы оформить мысли сильных учащихся и заодно поддержать слабых, советуем вам по окончании этого этапа продолжить обсуждение игры «Веревочка». Задача этого обсуждения – объяснить ребятам, какой выбор есть у Игрока (того, который стягивает веревочку). Как мы говорили, Игрок может взяться за концы веревочки с одной стороны или подойти с противоположной стороны стола. В зависимости от этого игра приведет к противоположному результату. Чтобы показать это, проведите еще 2 партии у доски. Для этого возьмите две одинаковые веревочки и разложите их на столе совершенно одинаково. Теперь пригласите к доске кого-то из учеников и попросите поставить в каждую веревочку палец, так, чтобы пальцы стояли абсолютно одинаково. Можно вместо ученика использовать два одинаковых предмета, которые можно поставить в петли веревочки, например, кусочек мела. Итак, получились две совершенно одинаковые исходные позиции. Теперь в первой позиции стяните концы веревочки, подойдя с одной стороны, а во второй – с противоположной стороны. Ребята должны увидеть, что в одном случае вы выиграли, а в другом – проиграли. Значит стратегия Игрока в том, чтобы стягивать веревочку, подходя с «правильной» стороны. Как же для любой партии увидеть эту «правильную» сторону? Вот на этом вопросе и стоит перейти к следующему этапу урока.

Общее обсуждение математической модели игры

На этом этапе мы советуем вам перейти от игровой ситуации на бумажную модель. Зарисуйте две одинаковые веревочки, можно те же самые, которые вы только что выкладывали в игровой ситуации, и соедините их по-разному так, как вы делали в соответствующих партиях. Дети при этом уже знают, в какой партии вы выиграли, а в какой проиграли (можно это подписать рядом с соответствующим рисунком). Теперь обведите каждую веревочку в рамку (конечно рамка не должна пересекать или касаться линии веревочки) и раскрасьте вместе с детьми на каждой картинке области (попросите детей пользоваться при этом разными цветами). Вы уже знаете, что этих областей будет на каждой картинке всего две – внутренняя и наружная. Дети этого пока не знают, они просто пользуются уже известным с обычных уроков правилом раскрашивания – раскрашивают каждую область в один цвет. По окончании этой работы класс замечает (и формулирует!) то, что вы уже знаете – на каждой картинке имеется всего 2 области. Одна лежит снаружи от кривой (она простирается до рамки), а другая – внутри кривой. На одной из картинок точка-палец оказалась внутри кривой (во внутренней области), в этой партии вы проиграли. На другой картинке палец оказался снаружи кривой (в наружной области), в этой партии вы выиграли. Здесь вы вместе с детьми можете сформулировать первый важный вывод – мы выигрываем тогда, когда палец оказывается снаружи от замкнутой веревочки и проигрываем – когда он лежит внутри.

Решение задач 5 и 6 из тетради проектов

Чтобы дети научились отличать наружные точки кривой от внутренних, мы предлагаем ребятам перейти к решению задач из тетради проектов. В задаче 5 кривая выглядит не слишком сложно. Однако эта задача решить нужно обязательно, чтобы ребята разобрались с новой формулировкой и поняли, что от них требуется в этой и следующих, подобных задачах. Дело в том, что в отличие от задач учебника-тетради, где каждый термин вводится последовательно и явно обсуждается на листе определений, в проектах работа с задачами как правило ведется более творчески и свободно. Однако, мы бы не хотели, чтобы при этом страдали основные принципы курса, в числе которых, полное понимание в рамках любой задачи учеником всех правил игры. Поэтому убедитесь, что все дети (даже самые слабые!) понимают, в чем состоит задача 5.

Из предыдущего обсуждения детям уже интуитивно понятно, что каждая замкнутая кривая делит плоскость (в данном случае ограниченную прямоугольной рамкой область) на две области – снаружи и внутри кривой. Озвучивать этот вывод совсем не обязательно, дети уже видели это в игровой ситуации, а словесные формулировки ясности здесь не добавляют. При этом в сложных случаях на глаз бывает не просто выделить, где область снаружи, а где – внутри. Поэтому проще всего раскрасить области, пользуясь известным детям правилом раскрашивания. Конечно, при этом мы пользуемся двумя цветами. После раскрашивания становится ясно, где наружная область, ведь она простирается до границ рамки. Допустим, вблизи рамки картинка желтая, значит вся желтая область картинки лежит снаружи от кривой и все точки, которые оказались на желтой области – лежат снаружи кривой. Ясно, что все остальные точки лежат внутри кривой. Конечно, мы при раскрашивании областей советуем вам пользоваться светлыми цветами, чтобы на них впоследствии было видно, как дети обвели красным и синим данные точки.

Если задачу 6 кто-то из детей не успеет закончить на уроке, ее можно задать на дом.


Урок 2. Вводное обсуждение

Второй урок проекта стоит начать с повторения выводов, которые ребята сделали на предыдущем уроке. Можно начать урок с нескольких демонстрационных партий у доски. Первый вывод, который ребята вынесли с предыдущего урока – Игрок, чтобы выиграть должен взяться за концы, подойдя с правильной стороны. Второй вывод – Игрок, чтобы выиграть должен взяться за концы так, чтобы палец оказался снаружи веревочки.

Решение задач 7 и 8 из тетради проектов

Задачи 7 и 8 аналогичны задачам 5 и 6 (по формулировке), только игровые ситуации в них представлены более сложные. Как и в задачах 5 и 6, здесь необходимо сначала раскрасить области (наружную и внутреннюю) двумя цветами, а затем выделить точки снаружи и внутри кривой.

Парная игра в «Веревочку»

Теперь, используя весь опыт, который дети получили в рамках проекта, они снова возвращаются к игре в «Веревочку». Лучше если первые 2-4 партии дети будут параллельно моделировать на бумаге. Выглядеть это будет примерно так:

  1. Один из ребят в паре раскладывает на столе веревочку. Лучше, если это будет тот, который потом ставит палец в петли веревочки, он постарается выложить петли поинтереснее. Второй при этом следит, чтобы веревочка сама себя не пересекала. Затем первый игрок ставит палец в одну из петель веревочки.
  2. Затем второй игрок (которому предстоит стягивать веревочку) зарисовывает получившуюся веревочку на бумаге и замыкает ее концы с любой стороны. Затем ребенок обводит свою картинку в рамку и раскрашивает наружную и внутреннюю области.
  3. Наконец, ребенок выясняет снаружи или внутри кривой при этом оказался палец. Если снаружи, значит именно так (как нарисовано) нужно стягивать веревочку. Если – внутри, нужно подойти в веревочке с другой стороны.

Если ребенок выигрывает, то дети меняются местами. Если – нет, то лучше попросить детей начать всю процедуру заново и проконтролировать каждый этап работы.

После того как сыграно несколько партий в бумажной модели, дети пробуют сыграть несколько партий без модели, пытаясь выстроить эту модель в уме. У кого-то это получается более удачно, у кого-то менее удачно. В любом случае в целом дети в классе на втором уроке должны выигрывать гораздо чаще, чем на первом.