Условие
Докажите, что существует набор из 100 различных натуральных чисел
c1, c2, ..., c100 такой, что для любых двух
соседних чисел ci и ci+1 этого набора сумма
ci2+ci+12 есть квадрат целого числа.
Скрыть решение
Решение
Примером таких чисел являются
ci = 3
100 – i · 4
i – 1. Проверим, что
ci2 +
ci + 1
2 — квадрат целого числа. Имеем:
ci2 +
ci + 1
2 = (3
100 – i · 4
i – 1)
2 + (3
99 – i · 4
i)
2 = (3
99 – i · 4
i – 1)
2 · (3
2 + 4
2) = (3
99 – i · 4
i – 1)
2 · 5
2.