Основные аналитические методы решения задач с параметрами

1. Некоторые сведения о задачах с параметрами

Наличие параметра в уравнениях и неравенствах приводит к тому, что исходная задача распадается на серию однотипных задач, соответствующих возможным числовым значениям параметра. Следует сразу предупредить читателей, что кажущаяся на первый взгляд  простота задач с параметрами весьма обманчива, т.к. зачастую возникают  нестандартные и сразу не очевидные ситуации.

В учебной литературе, как правило, выделяют два больших класса задач с параметрами. Первый класс задач имеет обычно такую краткую формулировку: решить уравнение (неравенство). Это означает найти все возможные решения при всех допустимых значениях параметра. Сложная структура решения (иногда говорят ветвление решения) особенно характерна для данного класса задач, т.к. решение представляет собой совокупность решений ряда задач. Проиллюстрируем сказанное двумя относительно простыми примерами.

         Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Это линейное уравнение вида . В дальнейшем мы будем часто обращаться к такому виду уравнений. Ясно также, что замена параметра  любым числом делает рассматриваемую задачу тривиальной. В начале рассмотрим три ветви решения, а по сути три задачи, на которые распадается исходная задача. На этом этапе читателю рекомендуется обратить особое внимание на тот логический принцип, который приводит к возникновению трех ветвей из исходного линейного уравнения. Принцип существования трех решений обусловлен различным сочетанием  и . 

1)     если , то уравнение приобретает вид  и не имеет решений;

2)     если , то получаем  и очевидно  любое число;

3)     если , то имеем  - единственное решение.

Ответ. Если , то решений нет; если , то решений бесконечно много; если , то  - единственное решение.

 

         Пример 2.  Решить неравенство.

         Решение.

         Как и в предыдущем примере, анализ трех возможностей (трех ветвей) позволяет получить следующее: если , то ; если , то любое; если , то .

Ответ. , если ; , если ; , если .

         Второй большой класс задач с параметрами связан с ситуациями, когда за счет параметра на решение уравнений и неравенств накладываются какие-либо заданные условия. Для таких задач характерна следующая формулировка: при каких значениях параметра  уравнение имеет одно решение, два, ни одного и т.д. Для пояснения этого класса задач рассмотрим два простых примера.

         Пример 3. При каких значениях параметра  уравнение  имеет единственное решение?

Решение.

Возможны два случая: если , то исходное уравнение превращается в линейное,  решение которого находится по иным правилам, чем решение квадратного уравнения в случае .

1)     если , то уравнение приобретает вид  и решений не имеет;

2)     если , то искомые значения параметра – это корни  уравнения  , где  - дискриминант квадратного уравнения. Эти корни имеют значения  и . Поскольку мы установили, что при  решений нет, то окончательно получаем .

Ответ. .

         Пример 4. При каких значениях параметра  неравенство  является следствием неравенства ?

Решение.

         Из формулировки задачи ясно, что множество решений первого неравенства должно содержать множество решений второго неравенства. Если переписать данные неравенства в виде  и , то очевидно, что условие задачи выполнится, если , т.е. .

Ответ. .