Односторонние поверхности

Мы привыкли к тому, что у каждой поверхности – например, у листа бумаги, у футбольной или велосипедной камеры – две стороны.

Рис. 1. Примеры двусторонних поверхностей
Видеофрагмент 1. Выворачивание мяча и покрышки

Ясно, что перейти с одной стороны на другую можно, только если каким-то образом перейти через край либо пройти сквозь поверхность.

Рис. 2. Двумерное существо не может перейти с одной стороны поверхности на другую

Если свернуть полоску бумаги в кольцо и склеить концы, то она, как была двусторонней, так и останется.

А вот если, прежде чем склеивать, перекрутить один из концов, получится «лист Мебиуса», иначе называемый «лентой Мебиуса». Его свойства независимо друг от друга открыли два немецких математика – Август Фердинанд Мебиус и Иоганн Бенедикт Листинг, описавшие его в 1862–65 годах.

Рис. 3. Кольцо и лента Мёбиуса

Во-первых, если путешествуешь по листу Мёбиуса, то, даже если нигде не пересечешь край, все равно можно побывать с обеих сторон полоски!

Рис. 4. Двумерное существо может перейти с одной стороны ленты Мёбиуса на другую

Поэтому и говорят, что лист Мёбиуса имеет не две, а только одну сторону: это односторонняя поверхность. Разумеется, если начать красить одну из сторон, то выкрашенным окажется весь лист, даже если мы и не перейдем через его край.

Поэтому, собственно и говорят, что у листа Мебиуса не две, а только одна сторона – это односторонняя поверхность.

Собственно, раскрасить, да еще только с одной стороны, можно лишь «материальную» поверхность, лежащую в трехмерном пространстве и имеющую некоторую толщину. Математические же поверхности толщины не имеют. Интересно, могло бы двумерное существо, живущее на поверхности без толщины и способное на ней передвигаться, обнаружить, двусторонняя его поверхность или односторонняя?

Оказывается, да! Если поверхность двусторонняя – например, обычное кольцо, – то, после обхода по ней с существом ничего не произойдет. А вот если перед нами лист Мебиуса, то, оказывается, обойдя круг, такое существо превратится в зеркально симметричное и будет отличаться от его собратьев, оставшихся дома, так, как у нас правая рука отличается от левой.

Видеофрагмент 2. Обойдя круг по ленте Мёбиуса, объект превратится в свое зеркальное отражение

У обычного кольца не только две стороны, но и два края. А у листа Мебиуса не только одна сторона, но и один край!

Рис. 5. Края кольца и ленты Мёбиуса

Еще одно замечательное свойство листа Мебиуса можно увидеть, если разрезать его посередине вдоль края. Если такой разрез произвести с обычным кольцом, будет, разумеется, два кольца.

А вот из листа Мебиуса получается вовсе не два листа. Поэкспериментируйте с листком бумаги.

Получившаяся фигура является, между прочим, двусторонней!

Рис. 6. Кольцо, получающееся из Ленты Мёбиуса при ее продольном разрезе

А если разрезать лист Мебиуса вдоль края уже не на две, а на три части, то что получится? А на четыре? А на пять? Попробуйте самостоятельно исследовать этот вопрос с помощью бумажных моделей.

Есть такая задача. Имеются три домика и три колодца. Можно ли проложить тропинки от каждого домика к каждому колодцу (то есть всего 3 домика * 3 колодца = 9 тропинок) таким образом, чтобы эти тропинки не пересекались? Попробуйте-ка это сделать!

Рис. 7. Задача про домики и колодцы

Не получается? Это действительно невозможно. 8 тропинок еще удается проложить, а девятую совершенно негде... Но вот оказывается, что на листе Мебиуса задача имеет решение! Попробуйте его найти!

Обычное кольцо – это двусторонняя поверхность с краем (даже с двумя), но есть и двусторонние поверхности без края: например, сфера или тор.

Рис. 8. Сфера и тор – поверхности без края

Лист Мебиуса – это односторонняя поверхность с краем. А существуют ли односторонние поверхности без края (двусторонними поверхностями без края являются, например, сфера или тор)? Оказывается, в трехмерном пространстве такие поверхности могут существовать только если разрешать им пересекать сами себя. Такова бутылка Клейна, названная в честь великого немецкого математика Августа Клейна. Она получается, если хитрым образом соединить концы трубы, которая может пересечь сама себя.

Cчитается, что, проходя через линию пересечения, мы просто продолжаем свой путь, не отвлекаясь на нее. Для наглядности можно рассмотреть также продольный разрез бутылки Клейна.

Модель 1. Бутылка Клейна

Нетрудно видеть, что поперечный разрез бутылки Клейна напоминает лист Мебиуса, и действительно, оказывается, ее можно сделать, склеив два листа Мебиуса краями (с самопересечением). В том, что бутылка Клейна – действительно односторонняя поверхность, можно убедиться и с помощью двумерных существ.

Односторонние поверхности фигурируют во многих произведениях литературы и искусства, например, на скульптуре Макса Билла. Лист Мебиуса изображен на ряде эмблем, связанных с математикой, в том числе на значке механико-математического факультета МГУ.