Блок 4. Комбинированные уравнения и неравенства с параметрами.

 

В этом разделе мы рассмотрим основные теоретические положения при решении:

  1. Уравнений и неравенств, содержащих модуль;
  2. Иррациональных уравнений и неравенств;
  3. Тригонометрических уравнений;
  4. Показательных уравнений и неравенств;
  5. Логарифмических уравнений и неравенств;
  6. Метод интервалов;
  7. Графические методы решения задач.

Наиболее важные теоретические сведения в применении тех или иных методов иллюстрируются в первую очередь примерами, не содержащими параметра.

Пример. Решить уравнение .

Способ 1. Используем метод раскрытия модулей по промежуткам.

 Способ 2. Непосредственное раскрытие модуля.

 Способ 3. Использование геометрического смысла модуля.

            С этой точки зрения необходимо найти на числовой оси такие значения х, которые удалены от 1 на расстояние, равное 2.

Способ 4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Здесь используется свойство модуля  и то, что обе части уравнения неотрицательные.

Способ 5. Графическое решение уравнения .

Обозначим  . Построим графики функций  и :

Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни   и .

Мы рассмотрели очень простой пример. В других примерах важно выбрать наиболее подходящий способ решения.

Пример. При каких значениях  уравнение  имеет ровно три различных действительных корня?

Решение:

Используем графический метод решения. Следует помнить, что если уравнение возможно представить в виде , то есть «уединить» параметр  и в системе координат  построить график функции , то графический метод (в особенности для отыскания числа корней при различных значениях параметра ) самый удобный. Пересекая график функции  прямыми , мы «снимаем» с графика интересующую нас информацию.

Итак, построим график функции , где . Прежде всего построим график функции , а затем к нему применим соответствующее правило «Преобразования графиков».

 

            Из рисунка видим, что только прямая а = 4 пересекает график функции в трех точках. Таким образом а = 4.

Ответ: а = 4.

Пример. При каких а уравнение  имеет единственное решение?

Решение:

            Данное уравнение равносильно системе:

            Единственное решение, а именно , причем удовлетворяющее условию , будет, если , т.е. .

            Однако остается еще одна возможность для получения единственного решения: меньший корень< -1, а больший корень > -1. Советуем для уяснения дальнейшего решения вспомнить опорные задачи из Блока 2. Пусть . Тогда .

Ответ:

Пример. При каких а уравнение  имеет корни?

Решение:

            Идея решения этого примера в части влияния параметра а самая популярная в тригонометрических уравнениях с параметрами: множество значений функций sinx и cosx равно отрезку [-1; 1]. В части упрощения воспользуемся формулой вспомогательного аргумента.

.

            Следовательно, .

Ответ: .

Пример. При каких а уравнение  имеет ровно один корень?

Решение:

В задачах с параметрами, связанных с обратными тригонометрическими функциями, особенностью является необходимость учета области определения и области значений этих функций. В этом примере следует учесть, что , т.е..

Имеем

Корень x = -2 будет единственным, если исключить другие корни х = а. Анализируя условие  приходим к выводу, что условие задачи будет выполнено, если а < -4 или

Ответ: а < -4 или

 

            Что касается показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром, важно заметить, что именно они в основном встречаются в части С ЕГЭ. Поэтому мы и рассмотрим два примера, взятые из КИМ ЕГЭ. Эти два примера имеют характерные решения, связанные с умением сделать замену переменной, сформулировать условия для получившейся квадратичной функции и рационально (часто это «близнецы» опорных задач из Блока 2) решить квадратные уравнения или неравенства. Конечно, и умение упрощать выражения, в том числе основанное на свойствах показательной и логарифмической функций здесь обязательно.

Пример. При каких а неравенство  выполняется для всех допустимых х?

Решение:

            Перепишем неравенство в виде:

Сделаем замену переменной  (см. Блок 3).

   (1).

Переформулируем: при каких а неравенство (1) выполняется для всех ?

            Важно заметить, что абсцисса вершины параболы положительна. Далее советуем обратиться к опорным задачам (Блок 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: .

Пример.При каких а неравенство выполняется для всех х?

Решение:

Этот пример весьма сложен тем, что если не заметить (!) ряд особенностей его решения и не провести это решение наиболее рационально, можно «утонуть» в громоздких вычислениях. Выделим этапы решения:

  1. Выделим в скобках целые части, поделив многочлены «уголком»:

.

  1. Сделаем замену переменной:

.

  1. Исходное неравенство запишем в виде:

            Сделаем необходимый здесь равносильный переход:

  1. Переформулируем задачу: системы (1) и (2) должны иметь решения при всех . И здесь снова полезно заметить, что последнее неравенство в (2) на указанном промежутке t выполняется.
  2. Для решения (1) и (2) обратимся к идеям, изложенным в Блоке 2 (Опорные задачи). Здесь опять выгодно заметить, что абсцисса вершины параболы (это образ квадратичной функции ) .

Для системы (1) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для системы (2) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 

Рассмотрим теперь применение метода интервалов для решения неравенств смешанного (комбинированного) типа. Это прежде всего комбинированные неравенства, где фигурируют рациональные, иррациональные, показательные и логарифмические функции.

Общая схема этапов решения такова:

  1. Неравенство представляют в виде  (знак неравенства взят произвольно);
  2. Находят область определения ;
  3. Находят нули функции и точки разрыва (мы будем этот этап называть кратко «нули»). Заметим, что здесь не нужно заботиться, попали ли «нули» в ;
  4. Изображают ось Х, на нее наносят  и «нули», попавшие в . Эти «нули» разбивают  на промежутки, в которых функция  сохраняет знак. Беря в каждом промежутке любую удобную (контрольную) точку, находим знак . Не забываем, конечно, в нестрогих неравенствах учесть и изолированные «вколотые» точки.

 

Пример. Решить неравенство .

Решение:

1)      Здесь =;

2)       ;

3)      «нули»: ;

4)             

 

Ответ: .

 

 Теперь решим аналогичный пример, но уже с параметром.

 Пример. При каких значениях параметра  решение неравенства  будет содержать отрезок длиной 4?

 Решение:

1)      Здесь ;

2)       ;

3)      «нули»: ;

4)      параметр  будет «плавать» вдоль оси Х в  , задавая случаи («ветви»):

а)

 

 

 

условия задачи не удовлетворяются;

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

условия задачи не удовлетворяются;

 

 


в)

 

 

 

 

 

 


 Остается «отодвинуть» параметр  от числа -6 вправо на расстояние, не меньше, чем 4. Имеем .

Ответ: .

 

 Пример. Решить неравенство .

Решение:

1) ;

2)  ;

3) «нули»:

         

Следовательно,  .

Ответ: .

Теперь в аналогичном примере введем параметр.

Пример. При каких  решение неравенства  не содержит чисел из отрезка ?

Решение:

1) ;

2)  ;

3) «нули»:

 

 

4) Рассмотрим случаи расположения :

 

 

а)  

 

 

 

 

б)   

 

 

 

в) 

 

 

 

 

г)

 

 

 

д) 

 

 

 

Объединяя все эти случаи, окончательно имеем .

Ответ: .