Урок 3.13 Задачи со свободным параметром

Пример 4

Найти все значения a, при которых система имеет хотя бы одно решение для любого значения b.

Решение

Так как система должна иметь решение для любого значения b, то, в частности, она должна иметь решение и для b = 0 (при b = 0 система имеет особенно простой вид).
При b = 0 система принимает вид: . Решим ее:
.
Итак, условие задачи может выполняться только при a = 0 или a = 1. Другие a исследовать бесполезно.
Достаточность.
1. Если взять a = 0, то система примет вид: . Исследуем ее.
При b = 1 первое уравнение системы приобретает вид: 2y = 1 и тогда y = 0, что противоречит второму уравнению этой системы. Значит, a = 0 не удовлетворяет условию.
2. Если взять a = 1, то система принимает вид: .
Прямой подстановкой проверяется, что пара (0; 0) является решением последней системы
для всех b.

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"