Блок 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

 

Покажем решение линейного уравнения , где a-параметр, k(a),b(a)-выражения, содержащие параметр. В общем виде решение удобнее всего изобразить следующей блок-схемой (рис.1).

Рис.1. Блок-схема решения линейного уравнения.

 

Эта блок-схема удобна тем, что идеально отражает обычное для задач с параметрами «ветвление» решения в зависимости от значений параметра. Мы видим, что из одного уравнения  возникает три уравнения:   , каждое из которых уже решается единым, определенным, стандартным способом.

Добавим, что в рассмотренной блок-схеме предполагается, что все значения и переменной x, и параметра a являются допустимыми. Если это не так, т.е. при определенных значениях x и a уравнение не имеет смысла, то решение усложняется. Возникает необходимость во-первых, определить эти недопустимые значения, а во-вторых, учесть их в процессе решения.

Часто в задачах на линейные уравнения и неравенства с параметрами бывает полезно «опереться» на линейную функцию , где k,b-коэффициенты. Напомним график линейной функции (рис.2).

 

Рис.2. График линейной функции.

Это, как известно, прямая, расположенная под углом  к положительному направлению оси OX и отсекающая на оси ординат отрезок b. Важно помнить, что  и коэффициент k называется угловым коэффициентом. Очевидно, в задачах с параметрами на линейную функцию ее записывают в таком виде: , где a-параметр. В зависимости от a графиками здесь является множество всевозможных прямых на координатной плоскости (XOY). Полезно помнить, что линейная функция не «описывает» прямые, которые параллельны оси ординат ().

В этом же модуле рассмотрим тему «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с параметрами».

Решить такую систему – значит найти такие пары чисел , которые являются решениями и первого и второго уравнений одновременно. Собственно решения   можно находить двумя популярными в школьном курсе приемами: подстановкой или «сложением-вычитанием» уравнений. Однако в задачах с параметрами требуется еще и исследовать количество решений в зависимости от параметра a. Чтобы наглядней понять смысл дальнейшего алгоритма решений подобных задач, запишем каждое уравнение системы через линейную функцию.

Учитывая тот факт, что каждое уравнение системы геометрически представляет прямую на плоскости, возможны три случая расположения двух прямых, а, следовательно, три случая решения системы.

1 случай:

Рис.3. Пересечение прямых.

 

Алгебраически для этого случая (рис.3) необходимо и достаточно, чтобы угловые коэффициенты прямых были различны.

Следовательно,   или (по свойству пропорций) , т.е. коэффициенты при неизвестных в системе не пропорциональны. Единственное решение .

 

 

 

 

 

2 случай:

Рис.4. Прямые параллельны.

 

Алгебраически для этого случая (рис.4) необходимо и достаточно, чтобы угловые коэффициенты прямых были одинаковы, но прямые отсекали разные отрезки на оси ординат.

Следовательно,

Эта система перепишется в виде  и чаще используют равносильную запись: , т.е. коэффициенты при неизвестных в системе пропорциональны, а свободные члены – нет. Система не имеет решений.

3 случай:

Рис.5. Прямые «сливаются» в одну.

 

Алгебраически для этого случая (рис.5) необходимо и достаточно, чтобы и угловые коэффициенты прямых и отрезки, отсекаемые ими на оси ординат, были одинаковыми.

Следовательно, , или , или , т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены в системе пропорциональны. Система имеет бесконечно много решений.

Алгоритм решения линейных неравенств с параметром вида , который представлен в виде блок-схемы на рис.6, может быть воспринят лишь тогда, когда ясен теоретический материал по решению линейных неравенств без параметра.

Рис.6. Блок-схема решения линейного неравенства.

 

В данной блок-схеме предполагается, что  и   определены при всех значениях параметра a. Если это не так, то необходимо найти ОДЗ и по переменной x, и по параметру , и учесть в решении задачи.