Урок 11. Длина цепочки. Цепочка цепочек

План урока

      1. Работа с листами определений «Длина цепочки. Цепочка цепочек».
      2. Решение обязательных бумажных задач 26, 28, 31.
      3. Решение компьютерных задач 319–324.
      4. Решение необязательных бумажных задач 30, 32.

Работа с листами определений «Длина цепочки. Цепочка цепочек»

Понятие «длина цепочки» для детей совсем не сложное и достаточно естественное. Иногда мы уже использовали подобные условия в задачах, говоря, что в цепочке сколько-то бусин. Теперь для таких случаев у нас появился специальных термин «длина цепочки». Поэтому, думаем пояснений к листу определений «Длина цепочки» вам давать не потребуется.

Цепочки цепочек

Ваши ученики уже, наверняка, привыкли к цепочкам и легко выделяют их в объектах и явлениях окружающего мира. Цепочки цепочек тем не менее могут показаться какой-то экзотикой, чисто формальными объектами. Если вы задумаетесь, то поймете, что цепочек, элементы которых – цепочки, тоже много.

Мы находим примеры цепочек, наблюдая за окружающим миром, в нашем восприятии отдельных событий и явлений. Например, в обычных школьных примерах естественно говорить, что ребенок утром встал, сделал зарядку, умылся, оделся, позавтракал, пошел в школу. В каждом событии этой цепочки нетрудно выделить внутреннюю структуру: зарядку разбить на отдельные упражнения; в одевании обсуждать, что сначала надевается майка или рубашка; маршрут в школу разделить на отдельные прямолинейные участки и повороты. Устная речь воспринимается как последовательность слов (и в некоторых письменностях они отображаются иероглифами), но во многих языках слова записываются в виде цепочек букв. В арифметических выражениях отдельные числа могут либо считаться бусинами цепочек, либо представляться как последовательности цифр. Использование скобок и подстановка выражения вместо переменной – примеры явлений того же рода.

Списки и языки программирования

Самые первые компьютеры работали с числами. Их использовали для расчета траектории ракеты, которая должна была точно попасть в столицу предполагаемого противника, или объема сырья в ядерном реакторе, который должен был произвести взрывчатый материал для боеголовки той ракеты, и т. п. В некоторый момент, однако, все больше задач, решаемых компьютерами, стало относиться не к числам, а к текстам, изображениям, звукам. Сегодня обработка текстов и изображений – главное занятие компьютеров.

Чтобы объяснить компьютеру, что делать с текстом, надо было создать специальные языки программирования (язык, на котором человек дает инструкцию компьютеру). Самым знаменитым языком, предназначенными для обработки текстов и записи программ, моделирующих интеллектуальную деятельность человека, стал язык LISP. При его разработке математики и специалисты по компьютерам воспользовались языком, изобретенным математиками еще в 30-е годы ХХ века. (Вообще очень многое из примененного в компьютерной технологии было открыто внутри математики еще до появления компьютеров.) Основным информационным объектом этого языка были цепочки цепочек. В языке LISP они называются списками (по-английски lists). Английское слово list вошло и в название знаменитого языка: LISt Processing (в переводе на русский язык – обработка списков). Язык LISP послужил основой для многих систем так называемого искусственного интеллекта, в которых люди пытались поручить машине задачи, например, распознавания изображений (как роботу перемещаться в пространстве, брать деталь и обрабатывать ее) и человеческой речи (как компьютеру понимать устные приказания хозяина).

Сегодня персональные компьютеры распознают напечатанный текст, понимают устную речь, играют в шахматы на чемпионском уровне. На многих заводах сегодня число рабочих и техников исчисляется всего десятками, а роботов – тысячами; простейшие роботы, в том числе распознающие изображения, школьники собирают в конструкторах ЛЕГО ДАКТА. Начинается все это с цепочек цепочек. (Кстати, мешки тоже появились в работах по искусственному интеллекту в 60-е годы прошлого века.)

Решение обязательных бумажных задач

Задача 26. Задача на закрепление нового понятия «длина цепочки». Единственная ее сложность – новый формат таблицы, но она настолько проста, что скорее всего трудностей не возникнет.
Ответ:

Задача 28. Дети должны усвоить, что Х – это цепочка, которая, как они привыкли, имеет начало, конец и бусины, сохраняющие строгий порядок. Отличие от тех цепочек, с которыми работали раньше, лишь одно: каждая бусина цепочки Х сама является цепочкой бусин. Именно поэтому мы называем новый объект «цепочка цепочек».

Настолько же, насколько это название естественно с точки зрения формальной логики, оно непривычно с точки зрения разговорного языка. В русском языке принято избегать повторения однокоренных слов в одном предложении. Поэтому структуры, похожие на цепочку цепочек, стараются называть словосочетанием из двух разных слов. Например, принято говорить «последовательность месяцев», а не «цепочка цепочек дней». Только в этой непривычности и может корениться причина того, что кому-то тема вначале покажется сложной. Ведь со структурами двойного порядка ребята уже имели дело и на уроках русского языка (предложение – это цепочка цепочек букв), и на уроках математики (арифметический пример – это структура из цепочек цифр).

При ответе на первый вопрос кто-то может попытаться сосчитать общее число бусин, входящих в цепочки цепочки Х. Такому ученику нужно посоветовать снова вернуться к листу определений.
Ответ: длина цепочки Х равна 4, третья бусина цепочки Х – это цепочка длины 3.

Задача 31. Каждое слово цепочки J по имеющимся буквам и общему количеству окон отыскивается в цепочке L однозначно. Поэтому ученик может начинать решать с любого слова цепочки J, постепенно заполняя окна. Указание к задаче облегчает работу. По мере соединения найденных слов в пары список «незанятых» слов в цепочке L становится все меньше, поэтому искать варианты для слов цепочки J становится все легче.

Эта задача многослойна. Она имеет несколько интересных выходов на различные вопросы курса. Проследим возможные связи. Во-первых, и L и J – это цепочки цепочек. Во-вторых, мы начинаем постепенно подводить ребят к теме «Словарный порядок». В цепочке L слова расставлены в алфавитном порядке, а в цепочке J – произвольно. Поскольку во 2 классе ребята уже немного занимались расстановкой слов в алфавитном порядке, то они могут сами заметить, что со словами, расставленными в лексикографическом порядке, работать удобнее.

Решение компьютерных задач

Задача 319. Задача, аналогичная бумажной задаче 26. Отличие данной задачи лишь в том, что среди данных имеется цепочка цепочек – F. Она состоит из трех цепочек (одна из которых пустая), поэтому ее длина равна трем.

Задача 320. Задача напоминает бумажную задачу 29. Подобные задачи позволяют выяснить уровень понимания детьми нового понятия «цепочка цепочек». Самое важное здесь, чтобы дети понимали, что цепочка S состоит из цепочек бусин. Именно они в этом случае являются бусинами, из которых строится цепочка. Как видите, здесь слово «бусина» мы употребляем в новом значении. Не как геометрическая бусина, а как «кирпичик» из которого строится более сложная структура. Именно в таком значении мы употребляли слово «бусина» в теме «Дерева». Дерево у нас тоже строится из бусин-кирпичиков. При этом в роли элементов (вершин) в дереве могут быть не только геометрические бусины, но и фигурки, буквы и даже цепочки (например, слова). Так же дело обстоит и в данной теме. Бусинами цепочки цепочек мы будем называть цепочки, из которых она состоит. В данном случае цепочка состоит из трех бусин-цепочек (поэтому длина цепочки S равна трем). Среди бусин цепочки S есть одна пустая цепочка (длины 0), цепочка длины 2 и цепочка длины 3. Ясно, что одинаковых цепочек в цепочке S нет.

Задача 321. Похожие компьютерные задачи на построение дерева ребятам уже встречались.  Поэтому большинство детей уже должны правильно понимать первое условие. С одной стороны оно означает, что дерево имеет всего 3 уровня, а с другой – что на первом и втором уровне дерева листьев нет. Поскольку на каждом уровне дерева при этом ровно по три бусины, то на третьем уровне 3 листа, а на первом и втором по три не листа. При попытке построить дерево по данному описанию, у детей получается дерево, в котором каждый лист выходит из своей корневой бусины, то есть в каждый лист ведет собственный путь (см. лист определений «Путь дерева»). Таким образом, структура всех деревьев у ребят будет похожей, а отличаться деревья будут только формой и цветом бусин, из которых они состоят.

Задача 322. Задача на повторение темы «Одинаковые мешки». Стратегии здесь могут быть самые разные. Одна из них – пометить сразу все буквы, которые есть во всех мешках. Для этого устроим перебор по буквам первого мешка. Если некоторая буква есть во всех остальных мешках, то помечаем ее во всех мешках. Если – нет, вынимаем букву из первого мешка. После этого останется лишь вынуть все непомеченные буквы из мешков. Другая стратегия состоит в том, чтобы сравнивать мешки постепенно, по ходу вынимая лишние буквы. Например, сравнивая первый мешок со вторым, мы ищем несовпадающие буквы и вынимаем их. Так мы понимаем, что в первом мешке лишняя буква Р, а во втором Н. Теперь сравниваем получившийся мешок (либо первый, либо второй, поскольку они стали одинаковыми) с третьим мешком и снова проделываем то же самое. Так мы двигаемся вплоть до последнего мешка, и к этому моменту из каждого мешка оказываются вынутыми по 2 буквы.

Задача 323. Задача на упорядоченье слов в алфавитном порядке. Отличие ее лишь в том, что требуется упорядочить не все слова, а только слова определенной длины, поэтому сначала слова длины 5 нужно отобрать. Можно отложить их лапкой в отдельную кучку или положить в окна цепочки сначала как придется.

Задача 324. Необязательная. Данная задача по сути комбинаторная, ведь эта задача на перебор вариантов. Конечно, не все дети смогут грамотно организовать систематический перебор. Поэтому многие будут действовать наудачу – раскрашивать очередную мышку, сравнивать ее с остальными, перекрашивать если такая мышь уже есть и т. д. Как видите, здесь есть два вида разных мышей – смотрящих влево и смотрящих прямо. Мышки из этих групп в любом случае будут разные, как бы мы не раскрашивали их одежду. Поэтому рассмотрим группу одинаковых мышек, например, смотрящих налево. Их будет четыре. Какие есть варианты раскраски их одежды. Либо юбка и кофта будут одинакового цвета, либо – разного. В первом случае они могут быть обе желтые, либо обе красные. Во втором, красной может быть юбка (а кофта желтой) или наоборот. Получаем всего 4 варианта разной раскраски, что как раз совпадает с нашим числом мышей. Аналогично мы раскрасим и мышей, которые смотрят прямо.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 30. Для полного решения задачи нужно перебирать все слова и дальше отмечать каждую букву в мешке и в слове. Существует способ сократить процесс, занявшись отдельными характеристиками слов. Например, в мешке всего 5 букв, значит, слова, где букв не пять, можно из рассмотрения выкинуть. В мешке две гласные, обе О, выбрасываем еще пару слов. В мешке есть буква Р, выбрасываем те слова, где Р нет. Остается проверить только два слова. Мы не предлагаем объяснять эту модель рассуждения учащимся, но вполне разумно поддерживать элементы такой модели в их рассуждениях или даже где-то подтолкнуть появление таких элементов.
Ответ: ТОПОР и РОПОТ.

Задача 32. Аналогичные задачи ребята уже решали. Поэтому при отсутствии времени можно предложить ее ребятам для домашней работы или просто пропустить.
Ответ: понедельник, четверг, вторник, пятница.

Урок 12. Длина цепочки. Цепочка цепочек

План урока

      1. Решение компьютерных задач 325–330.
      2. Решение обязательных бумажных задач 27, 29, 34.
      3. Решение необязательных бумажных задач 33, 35.

Решение компьютерных задач

Задача 325. Задача аналогичная компьютерной задаче 319 (см. комментарии к задаче 319). Желательно, чтобы все ребята справились с этой задачей полностью самостоятельно.

Задача 326. Это задача на текущий лист определений нового типа. Здесь необходимо достроить цепочку цепочек так, чтобы она соответствовала описанию. Заметим, что второе утверждение будет истинно автоматически, вне зависимости от того, как дети раскрасят цепочку. Иногда мы предлагаем ребятам подобные задачи с избыточными данными (недостаточными или даже противоречивыми) умышленно, ведь в практических информационных задачах такие ситуации встречаются довольно часто. Что касается одинаковых бусин цепочки F, то это могут быть только две цепочки длины 1 (состоящие из одной треугольной бусины), значит эти треугольные бусины нужно обязательно раскрасить в разные цвета. В силу третьего утверждения все круглые бусины раскрашиваем синим. Оставшуюся бусину первой цепочки раскрашиваем произвольно.

Задача 327.  В этой задаче дети впервые видят цепочку чисел. При решении этой задачи ребята должны понять, что любое  натуральное число можно рассматривать как цепочку цифр. Только цепочка натуральных чисел – это цепочка цепочек цифр. Именно в этом плане она нас в основном и интересует. Возможно, кто-то из детей заметит, что числа в цепочке стоят в порядке возрастания. Это существенно облегчает работу с данной цепочкой, в частности, заполнение данной таблицы.

Задача 328. Задача на повторение лексики, связанной с деревьями – понятий «листья», «уровни». Задача эта не сложная и желательно, чтобы все дети справились с ней самостоятельно. Здесь важно, в каком порядке использовать данные утверждения. Так, если в первую очередь использовать последнее утверждение, решение скорее всего зайдет в тупик. После использования всех трех утверждений все бусины дерева оказываются раскрашенными.

Задача 329. Аналогичных задач на построение дерева ребята решали уже довольно много. Поэтому предоставьте им полную свободу. Даже слабый ребенок способен здесь построить решение методом проб и ошибок, ведь подходящих решений в этой задаче много.

Задача 330. Необязательная. Хотя все объекты в задаче напоминают календарные даты, но не все являются таковыми, то есть имеются в календаре. Для начала ребята выбирают подходящие даты. После этого задача становится стандартной.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 27. Несложная задача на закрепление понятия «длина цепочки».
Ответ: СПРОСОНЬЯ, ПОПРЫГУНЬЯ, ГОВОРУНЬЯ, ХВАСТУНЬЯ.

Задача 29. Среди представленных цепочек есть две цепочки цепочек цепочек. Это цепочки, бусинами которых являются цепочки цепочек. Ученики видели такую цепочку на листе определений (цепочка V), но видеть и понимать – не одно и то же. Цепочка В состоит из одной бусины (а значит, длины 1), которая является цепочкой и тоже в свою очередь состоит из одной бусины, которая также является цепочкой и состоит из одной бусины. Головоломка? Вспомним русские народные сказки. Баба-Яга говорит Ивану Царевичу: «Смерть Кощея – на конце иглы, та игла – в яйце, то яйцо – в утке, та утка – в зайце, тот заяц – в кованом ларце, а тот ларец – на вершине старого дуба». Здесь конструкция еще более сложная, но детям она понятна.
На что похожа цепочка Г? Да на то же самое, но только Иван Царевич разбил яйцо, а там пусто. С цепочкой Г возможна дополнительная проблема – некоторые ребята будут считать ее просто пустой цепочкой. Это легко проверить по тому, как они определят истинность четвертого утверждения. Вернитесь с такими ребятами снова к Ивану Царевичу. Если он открыл сундук и из него выбежал заяц, можно ли считать, что сундук был пустой вне зависимости от того, найдет он в конце концов смерть Кощея в яйце или там пусто?
Ответ:

Задача 34. При решении задачи удобно воспользоваться черновиком. Первое утверждение: «В этом слове буква Е идет раньше О». Пишем на черновике Е, а потом О так, чтобы оставалось свободное место перед Е, после О и между буквами (ведь мы не знаем, куда придется вставлять остальные буквы). Второе утверждение не связано с уже написанными буквами, поэтому пока займемся третьим. Оказывается У идет позже О, значит, пишем на черновике У после О (опять оставляя место между буквами). Возвращаемся ко второму утверждению и получаем следующую последовательность: Е-О-У-Ы. Остается вставить буквы в окна в соответствии с порядком их следования в слове. Кто-то из ребят впишет буквы прямо-таки мгновенно. Причина в том, что наша цепочка – осмысленное слово (БЕЛОКУРЫЙ), которое можно просто угадать по имеющимся буквам, вообще не читая утверждения. Это тоже неплохо, но таких ребят нужно попросить определить истинность всех утверждений в задаче, другими словами, доказать, что это угаданное решение нам подходит. Наша задача – не отучить ребят догадываться (роль интуиции при решении задач трудно переоценить), а научить проверять правильность своей догадки или находить ошибку.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 33. Задача на повторение темы «Одинаковые мешки». Аналогичных задач было много в курсе 2 класса, и в курсе 3 класса ребятам они уже встречались (см. комментарии к бумажной задаче 4).

Задача 35. Здесь потребуется  умение анализировать не просто утверждения, а пары: утверждения и их истинностные значения. Для ложных утверждений придется построить их отрицания – соответствующие им истинные утверждения.
Эту задачу будет трудно решать, если анализировать утверждения по одному. Проще вначале прочесть все утверждения и попытаться как-то объединить их по смыслу. Можно сказать, что некоторые утверждения «про одно и то же»: первое и последнее – про длину цепочки Е; второе и пятое – про одинаковые бусины; третье, четвертое и шестое – про длину бусин-цепочек.

Проще всего сначала разобраться с длиной. Первое утверждение ложно, значит, длина цепочки Е не 4. Из последнего утверждения следует, что длина цепочки меньше 5. Вывод: длина цепочки может быть 3, 2 или 1.
Второе утверждение по смыслу является частью пятого. Итак, в этой цепочке должны быть две одинаковые пустые бусины-цепочки. Добавляя этот вывод к первому, получаем – эта цепочка состоит или из двух пустых цепочек, или из трех цепочек, две из которых пустые.

Прочтем оставшиеся утверждения. Третье утверждение не добавляет нам новой информации. В цепочке есть две пустые цепочки, значит, оно автоматически становится ложным. Аналогично и четвертое утверждение из-за наличия пустых цепочек не может быть истинным. Что-то новое о цепочке Е узнаем только из шестого утверждения – среди бусин этой цепочки есть цепочка длины 3. Добавляя эту информацию к выводу, сделанному на предыдущем этапе, получаем, что Е – цепочка, состоящая из трех цепочек, две из которых пустые, а третья – длины 3. Нарисовать такую цепочку теперь совсем не сложно.
Ребята не смогут провести все эти рассуждения так гладко и в полном объеме. Возможно, они выделят одну особенность цепочки Е, а дальше начнут действовать методом проб и ошибок, рисуя разные цепочки. Это тоже неплохо, главное, чтобы они всегда сопоставляли получившуюся цепочку с утверждениями из таблицы, а если что-то не сходится, то делали правильные выводы.