Дроби

Во всех цивилизациях понятие дроби возникло, вероятно, из процесса дробления целого на равные части (обратите внимание на саму этимологию русского слова «дробь»). Поэтому, вероятно, первыми дробями везде были дроби вида 1/n. Дальнейшее развитие естественным образом идет в сторону рассмотрения этих дробей как своего рода единиц, из которых могут быть составлены дроби m/n – рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике. В Древнем Египте некоторые дроби имели свои особые названия – а именно, часто возникающие на практике 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 и 1/8. Кроме того, египтяне умели оперировать с так называемыми аликвотными дробями (от лат. aliquot – несколько) типа 1/n – их поэтому иногда также называют «египетскими»; эти дроби имели свое написание: вытянутый горизонтальный овальчик и под ним обозначение знаменателя. Что касается остальных дробей, то их следовало раскладывать в сумму египетских. Эта задача не имеет единственного решения, и можно только догадываться, каким образом египтяне получали хотя бы какие-то решения. В сохранившихся математических папирусах приведены уже найденные разложения всех дробей типа 2/n при нечетном n до n = 101: как вы помните, в Египте при умножении и делении основной операцией было удвоение, поэтому именно дроби 2/n играли особую роль при арифметических действиях с дробными числами.

Например, в одном из папирусов рассматривается задача о делении 37 на число, заданное как (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Путем последовательного удвоения этого дробного числа и выражения разности между 37 и тем, что получилось, а также при помощи процедуры, по сути, эквивалентной нахождению общего знаменателя, получается ответ: частное равно

16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Совсем другую картину представляет оперирование с дробями в Древнем Вавилоне. Как уже отмечалось, там широко использовались таблицы обратных величин, записанных в шестидесятеричной системе (некоторый аналог современных десятичных дробей). Эти таблицы играли большую роль, поскольку все деление сводилось к умножению на обратные величины. Однако в таких таблицах приведены обратные величины только к числам вида 2k ∙ 3l ∙ 5m: лишь у таких чисел обратные выражаются в виде конечной шестидесятеричной дроби (подобно тому, как в виде конечной десятичной дроби выражаются только величины, обратные к числам вида 2k ∙ 5l). И хотя таких чисел много (в этом достоинство числа 60, делящегося и на 2, и на 3, и на 5), все же даже среди первых 20 встречается 5 «неправильных» чисел (это 7, 11, 13, 17 и 19), обратные величины к которым не могут быть найдены в виде конечной шестидесятеричной дроби; среди первых 60 чисел 22 «неправильных». В более ранних вавилонских таблицах напротив «неправильных» чисел написано «обратного нет». В более поздних иногда приводятся приближенные значения, например, для 1/7 приводится 8,34,17,8,34,17 (запятая разделяет соседние шестидесятеричные разряды). Здесь дважды повторен период бесконечной периодической шестидесятеричной дроби 1/7. В шестидесятеричной системе (как и в десятичной, и вообще в любой позиционной системе счисления с постоянным основанием) любое рациональное число выражается либо конечной, либо периодической дробью; но насколько вавилонские математики понимали это положение вещей, неизвестно. В целом в своих примерах они старались избегать деления на «неправильные» числа.

У греков было отдельное обозначение для 1/2 (L′′), но в целом их алфавитная нумерация с трудом позволяла обозначать дроби. Греки старались пользоваться только аликвотными дробями с числителем, равным единице: эти дроби записывались с помощью прибавления штриха ′ справа к символу, обозначающему знаменатель. Лишь Диофанту удалось ввести удачные обозначения для дробей вида m/n: он писал знаменатель выше числителя (в отличие от современных обозначений!) либо отмечал числитель штрихом, а знаменатель двумя штрихами; иногда же, при рассуждениях, знаменатель совсем опускался. Впрочем, несмотря на удобство таких обозначений, греческие астрономы, как мы видели, предпочитали следовать вавилонской шестидесятеричной системе.

Рис. 1. Обозначения дробей у греков

В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Вычисляя на основе правила, эквивалентного алгоритму Евклида, наибольший общий делитель числителя и знаменателя, китайские математики сокращали дроби. Умножение дробей интерпретировалось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3⅓ человека. Вообще же при делении дробей их обычно приводили к общему знаменателю (путем умножения знаменателей):

(a/b) : (c/d) = (ad/bd) : (cb/db) = ad : cb.

Дробь m/n при этом интерпретировались не как результат деления m на n, а как целое число m новых единиц, в n раз меньших, чем прежние единицы. Знакомое нам правило, по которому деление на дробь заменяется умножением на перевернутую дробь, впервые сформулировал Чжан Цю-цзянь в V в. н. э. Выработка такого правила была связана с использованием счетной доски, на которой дробь представлялась формально как пара чисел безотносительно к ее конкретному смыслу, и операции с дробями оказывались просто операциями с парами чисел. В III в. н. э. в Китае была введена десятичная система мер и начало складываться представление о десятичных дробях. С помощью таких дробей осуществлялось вычисление приближенных значений корней, а затем и числа π.

В Индии использовалась система записи – возможно, китайского, а возможно, позднегреческого происхождения, – при которой числитель дроби писался над знаменателем – как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Иногда использовалось и «трехэтажное» выражение с тремя числами в одной рамке; в зависимости от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c. Правила действий над дробями почти не отличались от современных. Как и в Китае, в Индии для приведения к общему знаменателю долгое время перемножали знаменатели всех слагаемых, но с IX в. пользовались уже наименьшим общим кратным.

Средневековые арабы пользовались тремя системами записи дробей. Во-первых, на индийский манер записывая знаменатель под числителем; дробная черта появилась в конце XII – начале XIII в. Во-вторых, чиновники, землемеры, торговцы пользовались исчислением аликвотных дробей, похожим на египетское, при этом применялись дроби со знаменателями, не превышающими 10 (только для таких дробей арабский язык имеет специальные термины); часто использовались приближенные значения; арабские ученые работали над усовершенствованием этого исчисления. В-третьих, арабские ученые унаследовали вавилонско-греческую шестидесятеричную систему, в которой, как и греки, применяли алфавитную запись, распространив ее и на целые части. Наконец, в XV в. ал-Каши ввел десятичные дроби (предыдущие попытки в этом направлении, предпринятые арабскими учеными, не возымели успеха); его целью было дать систему дробей, в которой, как в шестидесятеричной, все операции проводились бы, как с целыми числами, но которая базировалась бы на общеупотребительном десятичном основании и поэтому была бы доступна в том числе и тем, кто не знает «исчисления астрономов».

На европейском Западе шестидесятеричные дроби, нередко называемые «астрономическими», «физическими», «философскими», также широко применялись (глава об их использовании имеется даже у Леонтия Магницкого в первой русской «Арифметике» 1703 г.). При распространенности десятичных обозначений чисел было бы естественно перейти и к десятичным дробям. Впервые такую систему записи построил Иммануил бен Иакоб Бонфис из Тараскона – представитель еврейской математической школы, процветавшей в Южной Франции в XIV в., но его работа осталась незамеченной; напротив, общее употребление десятичных дробей началось с книги нидерландца Симона Стевина «Десятая» (1585). Обозначения Стевина не очень похожи на современные: у него нет запятой, отделяющей целую часть от дробной, но есть обозначения разрядов (целые обозначаются знаком 0, десятые – знаком 1, сотые – знаком 2, и т. д.), которые выписываются либо над соответствующими цифрами, либо после них в кружочках: система, с современной точки зрения, несколько громоздкая. Десятичную запятую ввел немецкий математик Георг Андреас Бёклер в 1661 г. Во многих странах вместо запятой используется точка; обозначение десятичных дробей, использующее точку, распространилось лишь в первой четверти XVIII в.

Рис. 2. Запись десятичных дробей, вверенная Стевином

Задача про взвешивание

(Эта задача приведена в книге знаменитого математика XIII века Леонардо Пизанского. Этой же задачей интересовался Л. Эйлер)

Требуется выбрать 5 различных гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз до 30 кг включительно (с точностью до килограмма) при условии, что гири ставятся только на одну чашу весов.

Модель 1. Задача про взвешивание