Первоначальные сведения о конических сечениях

В истории математики конические сечения – эллипс, парабола и гипербола – занимают особое место. Во-первых, за исключением прямой и окружности, это одни из самых первых кривых, изученных математиками и притом изученных максимально полно: достаточно развитая теория конических сечений была достоянием уже древнегреческой математики. Во-вторых, изучение конических сечений было связано с разработкой большого количества новых математических методов, которые оказались полезны и для решения других проблем: в частности, это относится к методу координат. В-третьих, теория конических сечений оказалась весьма плодотворной для приложения к разным вопросам – например, уже в древности и средневековье конические сечения использовались для решений уравнений 3-й степени, а в Новое время выявились неожиданные применения этой теории к вопросам механики и астрономии.

Впервые конические сечения описаны Менехмом, который также первым применил их к задаче об удвоении куба. Менехм рассмотрел сечения конуса вращения плоскостью, которая была бы перпендикулярна одной из его образующих (конус вращения – это фигура, образуемая вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов; образующая – это одна из прямых линий, лежащих на поверхности конуса и проходящих через его вершину). Нетрудно видеть, что всякий раз получатся симметричные кривые: если провести плоскость через ось конуса, перпендикулярную секущей плоскости, то она будет плоскостью симметрии и для конуса, и для секущей плоскости, а значит, и для линии, получающейся в сечении. Свойства сечений различны в зависимости от угла при вершине конуса. Так, если угол острый, то в сечении получается эллипс, если прямой – парабола, если тупой – гипербола, но у Менехма еще не было этих терминов: он так и называл обнаруженные кривые «сечением острого (соответственно прямого, тупого) конуса».

Рис. 1. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей

Менехм исследовал их свойства, в открытии которых определяющую роль сыграло установление т. н. симптомов – аналогов современных уравнений кривых. Не имея алгебраических обозначений, греки выражали эти свойства на языке «геометрической алгебры», как соотношение определенных отрезков, квадратов и прямоугольников, построенных на соответствующих кривых. Если же мы все-таки переведем симптомы конических сечений на современный алгебраический язык, то они будут эквивалентны следующим уравнениям:

y2 = 2px для параболы,

y2 = 2px – (p/ax2 для эллипса,

y2 = 2px + (p/ax2 для гиперболы.

Здесь p и a – постоянные величины (p сейчас называется параметром сечения, a – большой полуосью эллипса или действительной полуосью гиперболы), x и y – координаты, осями которых являются ось конического сечения и касательная к нему, проходящая через вершину.

Рис. 2. «Симптомы» конических сечений

Забегая вперед, скажем, что введенные Аполлонием Пергским термины «эллипс», «парабола» и «гипербола» связаны именно с данными симптомами. А именно, парабола задает «приложение» (по-гречески «параболе») площади y2 к отрезку 2p (см. «Приложение площадей»), эллипс «приложение с недостатком» («эллейпсис» – недостаток), а гипербола – «приложение с избытком» («гиперболе» – избыток).

Симптомы конических сечений доказываются следующим образом.

Пусть O – вершина конуса, M – произвольная точка рассматриваемого конического сечения, α– плоскость, перпендикулярная оси конуса и содержащая точку M, β – плоскость симметрии конического сечения, AOB – угол, образуемый при пересечении конуса с плоскостью β (при этом A и B принадлежат α), PK – ось симметрии конического сечения (P принадлежит OB, K принадлежит AB), R – основание перпендикуляра из точки P на ось конуса, L – точка пересечения PK и оси конуса.

Рис. 3. Доказательство «симптомов» конических сечений

Т. к. AMB – полукруг, KM2 = AK ∙ KB.

По подобию прямоугольных треугольников PR : PL = KP : KB, или PR ∙ KB = PL ∙ KP. Обозначим KP = y, KM = x, PL = p.

В случае прямого угла при вершине конуса прямая PK параллельна OA, AK = 2PR,

AK ∙ KB = 2PR ∙ KB = 2PL ∙ KP, откуда KM2 = 2PL ∙ KP, или y2 = 2px.

Рис. 4. Доказательство «симптомов» конических сечений для случая конуса с прямым углом при вершине

В случае острого или тупого угла прямые PK и OA пусть пересекаются в точке H.

AK : KH = 2PR : PH, AK ∙ KB = 2PR ∙ KB ∙ KH : PH = 2PL ∙ KP ∙ KH : PH.

Обозначим PH = 2a. Тогда при остром угле KH = 2a – x, y2 = 2px (2a – x) / (2a) = 2px – (p/a)x2, а при тупом KH = 2a + x,

y2 = 2px (2a + x) / (2a) = 2px + (p/a)x2. Доказательство окончено.

Рис. 5. Доказательство «симптомов» конических сечений для случая конуса с острым углом при вершине

 

Рис. 6. Доказательство «симптомов» конических сечений для случая конуса с тупым углом при вершине

Исходя из симптома эллипса, докажите, что он:

1) представляет собой ограниченную кривую;
2) имеет две оси симметрии.

Нетрудно видеть, что в случае p = a уравнение эллипса переходит в уравнение:

y2 = 2ax – x2,

или, что то же, в уравнение:

(x – a)2 + y2 = a2:

эллипс превращается в окружность радиуса a. Общее уравнение эллипса можно преобразовать к виду:

,

или же, если положить , к виду , что представляет собой уравнение окружности радиусом в новых координатах (x′; y): такая замена переменных представляет собой растяжение координатной сетки вдоль оси абсцисс в раз. Таким образом, эллипс – не что иное, как «растянутая окружность». Исходя из этого, нетрудно найти площадь эллипса: если площадь окружности радиуса r равна πr2, то, чтобы получить эллипс с полуосями a и b, нужно растянуть плоскость, при растягивании квадрат площади r2 перейдет в прямоугольник площади ab, а площадь эллипса будет равняться πab. Этот факт впервые доказал Архимед.

Рис. 7. Эллипс как результат растяжения круга

Если провести аналогичную операцию растягивания вдоль оси абсцисс в раз по отношению к гиперболе, то она превратится в равностороннюю гиперболу, отличающуюся тем свойством, что ее асимптоты взаимно перпендикулярны. Ее симптом будет иметь вид:

y2 = 2ax + x2.

График обратной пропорциональности имеет форму именно такой гиперболы. И действительно, если записать уравнение этой гиперболы по отношению к координатным осям, совпадающим с асимптотами, то получится уравнение вида y = k/x. Этот факт также был известен древним грекам (формулировали они его, разумеется, без обращения к терминологии уравнений и осей координат: они говорили, что площадь прямоугольника, построенного на расстояниях от точки гиперболы до ее асимптот, постоянна).

Докажите, что относительно осей, проходящих через точку с координатами (–a; 0) и образующих углы 45° по отношению к первоначальным осям, уравнение равносторонней гиперболы имеет вид y = k/x.

Доказательство

Важный вклад в изучение конических сечений внесли Аристей, Евклид, Архимед. Помимо площади эллипса Архимед определил площадь сегмента параболы, а также объемы сегментов тел, полученных вращением конических сечений вокруг их осей симметрии.

Рис. 8. Тела, полученные вращением конических сечений вокруг оси симметрии

Но особенно продвинул теорию конических сечений Аполлоний. Именно он, в частности, первым стал рассматривать вторую ветвь гиперболы.