Алгебра у арабов; проблема отрицательных коэффициентов и корней
Рис. 1. Вавилонская таблица пифагровых троек и ее расшифровка

Решение квадратных уравнений требовало извлечения корней. Квадраты натуральных чисел (по крайней мере, в пределах первой сотни) были известны давно, уже в Древнем Вавилоне существовали таблицы не только квадратов, но и других степеней, и даже чисел вида (n3 + n2). Вавилоняне вообще часто пользовались таблицами, начиная с таблиц умножения чисел в шестидесятеричной системе. Так что, если нужно вычислить корень из какого-то числа, являющегося полным квадратом, например, из 289, нет ничего проще: обращаетесь к таблице квадратов, ищете там это число и видите, что оно является квадратом 17. Таким образом,

Но что делать, если нужного числа в таблице не окажется? Тогда можно вычислить корень приближенно. А как? И вот тут вавилоняне придумали замечательный метод, который впоследствии применяли и другие народы.

Итак, пусть нужно вычислить корень из числа N, которое не является полным квадратом. Для общности предположим, что N больше 1 (это заведомо выполняется, если N целое; если же N будет положительным числом, меньшим 1, то его можно умножить на некое b2 так, чтобы Nb2 было больше единицы; если мы после этого найдем то

Вначале ищется максимальное натуральное число a, квадрат которого меньше N. Первое приближение (с недостатком) для будет a:

Вавилоняне придумали, как можно вычислить корень поточнее. Пусть N больше, чем a2, на величину r: N = a2 + r (нетрудно видеть, что r ≤ 2a, поскольку иначе a не было бы максимальным из чисел, квадрат которого не превышает N: число (a + 1)2 = a2 + 2a + 1 тоже было бы не больше N). Тогда следующим, более точным, приближением, на сей раз с избытком, будет такое:

Проверим. Возведем a1 в квадрат:

Число a2 отличается от N на r, а число (а + r/2а)2 – на r2/4a2 = r (r/4а2) ≤r (2a/4а2) = r/2а, что меньше r (т. к. a натуральное, а значит, не меньше 1).

Так, в случае N = 2 будет a = 1, r = N – a2 = 1, a1 = a + r/2a = 1 + 1/2 = 1,5, а в случае N = 3 будет a = 1, r = 2, a1 = 1 + 1 = 2.

Конечно, и приближение и приближение не очень точны. Но существовал способ улучшить имеющееся приближение. А именно, если, допустим, первое приближение и это приближение с избытком, то можно поделить на Это будет новое приближение с недостатком; поскольку Следовательно, лежит между числами и Таким образом, полусумма этих чисел будет еще ближе к чем каждое из них. Итак, по приближению можно построить следующее, более точное приближение:

a2 = (a1 + N/a1) / 2.

Если нужно будет получить еще более точное значение, можно повторить эту операцию и найти a3 = (a2 + N/a2) / 2, и т. д. Каждый раз приближение будет все более точным.

Покажем, как все это работает на практике. Пусть N = 2, a1 = 1,5, тогда:

a2 = (a1 + N/a1)/2 = (3/2 + 4/3)/2 = (9 + 8)/(2 ∙ 3 ∙ 2) = 17/12 = 1,41666... ,
a3 = (a2 + N/a2)/2 = (17/12 + 24/17) = (289 + 288)/(12 ∙ 17 ∙ 2) = 577/408 = 1,4142156... .

В действительности Таким образом, отличается от лишь в 7-м знаке после запятой! И это приближение было найдено уже в Древнем Вавилоне: сохранилась глиняная табличка, на которой изображен квадрат с двумя диагоналями: на них указаны два приближенных значения отношения диагонали к стороне (то есть корня из 2), в том числе одно, более точное, соответствующее указанному приближению.

Рис. 2. Вавилонская клинописная таблица, применение приближения квадратного корня

В общем, указанные методы хороши тем, что с их помощью можно улучшать приближение до бесконечности. При этом, поскольку каждый раз искомый корень оказывается зажатым между двумя приближениями, сразу ясна оценка получаемой точности (между какими двумя числами лежит корень):

В арабском мире правило:

упоминает ал-Хорезми (IX в.), от арабов оно проникло и в Европу. Математики XI в. Кушьяр ибн Лаббан и ан-Насави в своих учебниках приводят и правило приближенного нахождения кубического корня. В арабском мире эти правила носили название «индийского метода». Действительно, в Индии они были известны уже в V–VI вв.; их сформулировал Ариабхата. Подобно тому, как правило для извлечения квадратного корня основано на формуле:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

так правило извлечения кубического корня основано на формуле:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

А именно, при вычислении кубического корня из N сначала находят a – максимальное натуральное число, куб которого не превосходит N. Пусть N = a3 + r. Тогда кубический корень в самом простом случае вычисляется по правилу, выражаемому формулой:

после чего можно проводить дальнейшие улучшения точности. Живший в XII в. Леонардо Пизанский (Фибоначчи) приводит свое решение как открытое им самим; он, вероятно, не был знаком с трудами Ибн Лаббана и ан-Насави.

Нам предстоит рассмотреть еще один очень важный и куда более универсальный метод, позволяющий вычислять корни и вообще численное решение любого уравнения степени n. В Китае данный метод носил название «тянь-юань» (дословно «небесный элемент», так китайцы называли неизвестную величину). Этот метод для квадратных и кубических корней описан в трактате «Математика в девяти книгах» (II в. до н. э.). Последующие китайские математики – Цзу Чун-чжи (V в.), Ван Сяо-тун (VII в.), Цинь Цзю-шао,Ли Е,Чжу Ши-цзе(XIII–XIV вв.) – развили этот метод, перенеся его на корни и уравнения более высоких степеней. В исламском мире этот так называемый «индийский метод» развивали Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) и ал-Каши (XV в.), однако их достижения остались неизвестны европейцам, которым пришлось переоткрывать этот метод самим (например, этим занимался Ф. Виет); в XIX в. он получил название метода Руффини–Горнера.

Рассматриваемый метод, с одной стороны, также основывается на разложениях (a + b)2, (a + b)3 и т. д., а с другой стороны, существенно использует десятичную запись чисел.

Состоит он в том, что последовательно находятся цифры результата. Неизвестная величина представляется в виде суммы, например, некоторого числа сотен, некоторого числа десятков и некоторого числа единиц, и эти числа последовательно находят.

Рассмотрим, например, как с помощью этого метода ат-Туси решал уравнение:

x3 + 36x = 91750087.

Перед нами в правой части восьмизначное число. Следовательно, x – трехзначное число (для таких чисел выражение (x3 + 36x) лежит в диапазоне от 7- до 12-значных чисел). Пусть оно состоит из a сотен, b десятков и c единиц:

x = a ∙ 102 + b ∙ 10 + c.

Тогда (в современных обозначениях):

x3 = a3 ∙ 106 + 3a2b ∙ 105 + 3ab2 ∙ 104 + 3а2c ∙ 104 + 6abc ∙ 103 + b3 ∙ 103 + 3ac2 ∙ 102 + 3b2c ∙ 102 + 3bc2 ∙ 10 + c3,
36x = 36a ∙ 102 + 36b ∙ 10 + 36c.

Итак, надо найти такие а, b и с, что сумма этих двух выражений равна 91750087.

Сначала находят a – наибольшее число сотен, куб которых меньше 91000000. Это a = 4.

Затем вычисляются все члены, которые можно определить, исходя из этого значения a. Они вычитаются из правой части:

a3 ∙ 106 = 64000000, 36a ∙ 102 = 14400,
91750087 –  64000000 –  14400 = 27735687.

Таким образом, теперь предстоит найти такие b и c, что:

48b ∙ 105 + 12b2 ∙ 104 + 48c ∙ 104 + 24bc ∙ 103 + b3 ∙ 103 + 12c2 ∙ 102 + 3b2c ∙ 102 + 3bc2 ∙ 10+ c3 + 36b ∙ 10 + 36c = 27735687.

После этого ищется, при каком максимальном b будет выполняться 48b ∙ 105 < 27700000. Находим, что это будет при b = 5.

Вычисляем все члены, содержащие только b, и вычитаем их из 27735687:

48b ∙ 105 = 24000000, 12b2 ∙ 104 = 3000000, b3 ∙ 103 = 125000,  36b ∙ 10 = 1800,
27735687 – 24000000 – 3000000 – 125000 – 1800 = 608887.

Уравнение приняло форму:

48c ∙ 104 + 120c ∙ 103 + 12c2 ∙ 102 + 75c ∙ 102 + 15c2 ∙ 10 + c3 + 36c = 608887.

Теперь находится наибольшее c, при котором 48c ∙ 104 < 600000. При этом c = 1.

Подставляя найденное значение в уравнение, получается, что левая часть равна правой. Таким образом, корень исходного уравнения равен 451.

Как уже было сказано, данный метод был распространен и на уравнения высших степеней. Легко понять, что ключевым для его применения стало знание коэффициентов в разложении бинома (a + b)n на одночлены вида an – 1b, an – 2b2 и т. д. Оказалось, что биномиальные коэффициенты обладают целым рядом замечательных свойств, которые будут темой следующего урока.