Основные понятия кинематики

Механика – это целостная научная теория. Как любая теория, механика имеет свои эмпирическую основу, понятийный аппарат, систему основных законов, принципов и систему следствий.

Остановимся на понятийном аппарате курса механики, частью которой является изучаемая в настоящей главе кинематика.

Кинематика занимается описанием механического движения и отвечает на вопрос: «Как движется тело?».

Очень часто приходится рассматривать движение таких тел, размеры которых можно считать пренебрежимо малыми по сравнению с характерными масштабами длин и расстояний, описывающих движение. В этом случае удобно ввести идеализацию – представления о материальной точке.

Договоримся в дальнейшем, считать все тела материальными точками. Это означает, что на этом этапе изучения физики мы ограничимся решением определенного класса задач и рассмотрения определенных движений. Отметим, что для движений – перемещений, идеализация хорошо себя оправдывает; для движений – изменений ориентации тел в пространстве, идеализация не работает, и приходится вводить другое модельное представление – абсолютно твердого тела.

Рис. 1
Материальная точка – это тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Например, стоящий на дороге автомобиль можно считать материальной точкой, если нас не интересуют ни его форма, ни различие в движении отдельных частей (кузова, руля, колес), если автомобиль находится от нас достаточно далеко, либо если мы под словом «автомобиль» понимаем то место, где находится его геометрический центр.

Рис. 2
Рис. 3

Водитель же автомобиля, сидящий за рулем, управляющий им, отслеживающий его состояние, маневрирующий на плоской поверхности, не вправе считать тот же автомобиль материальной точкой.

Зададимся вопросом: «Где находится автомобиль?». Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо иметь какие-то ориентиры. Например, можно сказать, что автомобиль находится на определенном расстоянии от дома.

Вспомним, что в математике под расстоянием понимают длину отрезка AB, соединяющего две точки.

На плоскости это, как правило, отрезок прямой. На сферической поверхности, например, на глобусе, за расстояние естественно принять длину меньшей из дуг AB окружности большого круга, проходящего через точки A и B. Часто на практике расстояние связано с минимальным временем, за которое можно добраться из пункта A в пункт B. При этом возможно, что в разных ситуациях разные люди под расстоянием будут понимать разные величины. Например, расстояние между двумя удаленными городами, измеренное по глобусу, вряд ли совпадет с расстоянием между теми же городами, которое указано в железнодорожном справочнике. Несовпадение станет понятным, когда мы по карте посмотрим на форму железной дороги.

В приведенном примере на таком же расстоянии от дома, как и автомобиль, могут находятся и другие тела – дома, деревья и т. д.

Механика рассматривает не только положение тел в пространстве, но и изменение этого положения.

Изменение с течением времени положения тела в пространстве относительно других тел называется  механическим движением.

Чтобы точно и определенно задать положение тела в пространстве, введем понятие системы отсчета.

Система отсчета – это тело отсчета, связанная с ней система координат и прибор для фиксации момента времени, в который мы рассматриваем положение тела – часы.
Рис. 4

Одной из возможных и удобных для описания систем координат является прямоугольная декартова система координат. В общем случае она представляет собой три взаимно перпендикулярные оси: 0X – ось абсцисс, 0Y – ось ординат, 0Z – ось аппликат, на которых откладываются соответствующие координаты тела (материальной точки) – x1, y1, z1. Таким образом, для однозначного определения положения точки в пространстве достаточно трех чисел.

Рис. 5

В разных системах отсчета, в один и тот же момент времени, координаты одной и той же точки могут отличаться друг от друга.

Задать положение тела в пространстве можно и другими способами. Например, измерив длину направленного отрезка прямой, соединяющего начало отсчета с заданной точкой; и определив направление (углы) этого отрезка относительно заданного направления и плоскости горизонта согласно установленного правила (например, отсчета углов по часовой стрелке). В этом случае положение точки будет также задано тремя числами – расстоянием и двумя углами.

В астрономии для определения положения светила на небесной сфере достаточно двух чисел – углов, поскольку все светила кажутся равноудаленными от наблюдателя.

Очень часто механическое движение происходит таким образом, что одна координата остается все время постоянной. Например, автомобили, люди часто движутся только в плоскости Земной поверхности. При этом у них изменяются лишь две координаты, а третья координата останется неизменной. Для описания подобного движения удобно пользоваться плоскостной системой координат.

Если тело движется по прямой, для отображения этого движения на чертеже достаточно одной координатной оси.

Рис. 6
Линия, вдоль которой движется тело, называется траекторией. Длина траектории называется путем.

Путь обозначают буквой L. Путь – величина скалярная.

Направленный отрезок прямой, соединяющий два последовательных положения тела (либо его начальное и конечное положения), называется перемещением.

Перемещение имеет вполне определенное направление, следовательно, является вектором. Вектор перемещения обозначают

В речи факт перемещения тела из точки A в точку B описывается разными способами.

Рис. 7

Можно говорить: тело двигалось по кривой линии и прошло путь L; тело совершило перемещение координаты тела были и а стали и (для случая движения в плоскости).

Перемещение тела в заданной системе координат можно охарактеризовать и с помощью прямоугольной проекции вектора   на координатные оси 0X, 0Y и

В общем случае, прямоугольные проекции можно представить как тени, отбрасываемые вектором на координатные оси, если лучи света падают на этот вектор в направлении, перпендикулярном координатным осям.

Проекцией точки на координатную ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось.

Проекция отрезка AB на ось 0X – это отрезок длины AB ∙ cos α, а на ось 0Y – отрезок длины AB ∙ sin α, где α – угол между прямой AB и осью 0X.

Проекция вектора на координатные оси рассматривается как величина алгебраическая. Проекцию ab отрезка AB принято считать положительной, если b правее (выше) a, и отрицательной, если b левее (ниже) a.

Проекция вектора перемещения на координатные оси прямоугольной системы координат связана с начальными координатами xн, yн и конечными координатами xк, yк следующим образом: ΔSx = xкxн; ΔSy = yкyн.

Модуль вектора перемещения связан с его проекциями на координатные оси и координатами:

Кроме того: ΔSx = ΔS ∙ cos α, ΔSy = ΔS ∙ sin α.

Рис. 8

На приведенном рисунке координата конца вектора x2 имеет большее значение, чем координата начала вектора x1, поэтому проекция вектора перемещения положительна.

Координата же конца вектора y1 имеет меньшее значение, чем координата его начала y2, поэтому проекция вектора перемещения отрицательна.

Основная задача механики – определение положения тела в любой момент времени.

С точки зрения математики эта задача состоит в поиске таких уравнений x = x (t), y = y (t), z = z (t), которые позволили бы однозначно определить координаты движущегося тела в любой, наперед заданный момент времени.

Уравнение, выражающее зависимость координаты тела от времени его движения, называется уравнением движения.