Пример 1

При каких значениях параметра a система уравнений имеет ровно два решения?

Решение Изобразим в прямоугольной системе координат Oxy линии, задаваемые уравнениями (1) и (2) исходной системы, и, пользуясь геометрическими соображениями, выделим те значения параметра a, при которых эти линии имеют ровно две общие точки, все такие a и составляют ответ задачи. Уравнение (1) задает на координатной плоскости окружность L радиуса 4 с центром в начале координат. Перепишем уравнение (2) в виде: y = |x| + a, это уравнение задает параметрическое семейство Г(a) “уголков”, получаемых из графика y = |x| параллельным переносом вдоль оси Oy на |a| вниз, если a < 0, и вверх, если a > 0.

Совмещая геометрические образы уравнений (1) и (2) на одной координатной плоскости, мы получаем возможность проследить особенности их взаимного расположения в зависимости от значений параметра a.
Из рисунка следует, что исходная система имеет ровно два решения, если график Г(a) принимает положение Г₁ или любое положение, промежуточное между графиками Г₂ и Г₃ (исключая сами эти крайние положения). В случае Г₁ треугольник A₁OB₁ – прямоугольный и равнобедренный, причем
OP = 4 – его высота, поэтому a = –OA₁ = –4. Случаю Г₂ соответствует a = –OA₂ = –4. Наконец, в случае Г₃  a = OA₃ = 4.

Ответ