Урок 3.11 Решение задач с параметром
с использованием графиков
входящих в условие задачи функций

Пример 1

При каких значениях параметра a система уравнений имеет ровно два решения?

Решение

Изобразим в прямоугольной системе координат Oxy линии, задаваемые уравнениями (1) и (2) исходной системы, и, пользуясь геометрическими соображениями, выделим те значения параметра a, при которых эти линии имеют ровно две общие точки, все такие a и составляют ответ задачи.
Уравнение (1) задает на координатной плоскости окружность L радиуса 4 с центром в начале координат.
Перепишем уравнение (2) в виде: y = |x| + a, это уравнение задает параметрическое семейство Г(a) “уголков”, получаемых из графика y = |x| параллельным переносом вдоль оси Oy на |a| вниз, если a < 0, и вверх, если a > 0.

Совмещая геометрические образы уравнений (1) и (2) на одной координатной плоскости, мы получаем возможность проследить особенности их взаимного расположения в зависимости от значений параметра a.
Из рисунка следует, что исходная система имеет ровно два решения, если график Г(a) принимает положение Г1 или любое положение, промежуточное между графиками Г2 и Г3 (исключая сами эти крайние положения). В случае Г1 треугольник A1OB1 – прямоугольный и равнобедренный, причем
OP = 4 – его высота, поэтому a = –OA1 = –4. Случаю Г2 соответствует a = –OA2 = –4. Наконец, в случае Г3  a = OA3 = 4.

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"