Урок 54. Цепочка мешков. Раскрытие цепочки мешков.

План урока

      1. Работа с листом определений «Цепочка мешков. Раскрытие цепочки мешков».
      2. Решение обязательных бумажных задач 52–54.
      3. Решение необязательных бумажных задач 56, 61.
      4. Проект «Дневник наблюдения за погодой», подведение итогов за февраль.

Лист определений «Цепочка мешков. Раскрытие цепочки мешков»

Раскрытие цепочки мешков связано с тем, какие можно получать комбинации из бусин мешков этой цепочки. Эта операция очень похожа на раскрытие скобок в произведении сумм. Это не случайно: в этих случаях производятся одни и те же действия. Такая деятельность, как раскрытие скобок, не связана с какими-то специальными свойствами сложения и умножения чисел, она точно так же может относиться к последовательности выборов в игре, образованию семейства слов из частей этих слов и т. д.

Раскрыть цепочку мешков – значит, превратить ее в мешок всех возможных цепочек, составленных по следующему правилу: на первом месте должна стоять бусина из первого мешка, на втором – бусина из второго мешка и т. д., на последнем месте – бусина из последнего мешка. В процессе выполнения данного действия необходимо найти все возможные комбинации из бусин, взятых соответственно из каждого мешка по одной; значит, мы снова попадаем в область комбинаторики.

Потренировавшись в раскрытии цепочки мешков, дети будут более уверенно работать с алгебраическими многочленами.
Чтобы продемонстрировать общие черты операции раскрытия цепочки мешков и раскрытия скобок в произведении сумм в алгебре, приведем следующий пример:

Используя этот результат, легко получить мешок ⊗А:

На этом примере видны общие черты данных операций:
1) Порядок действий меняется на обратный. В одном случае произведение сумм превращается в сумму произведений, в другом  –  цепочка мешков превращается в мешок цепочек.
2) И в том и в другом случае мы ищем все возможные комбинации из элементов, взятых по одному из каждого множества (суммы или мешка).
3) Количество элементов, над которыми производится внешнее действие, не изменяется: взяв произведение трех сумм, получим сумму произведений, состоящих из трех множителей. После раскрытия длина каждой цепочки в мешке должна быть такая же, какой была длина исходной цепочки мешков.
4) Число элементов получившегося результата (мешка или суммы) зависит от числа элементов в исходных мешках или суммах.
Рассмотрим еще пример – такой, чтобы в мешках цепочки встречались одинаковые бусины:

И здесь аналогия сохраняется – получаем мешок ⊗B:

Необходимо отметить и различия, которые обнаруживаются в ходе проведения двух данных операций. Операция умножения обладает переместительным свойством. Можно поменять местами как множители в исходном произведении, так и компоненты произведений в результате. Цепочка же – упорядоченная структура, изменение порядка бусин дает совершенно другую цепочку. Надеемся, что ребята уже освоились с цепочкой и в этом плане путаницы не возникнет. Для полноты картины приведем пример, в котором полное соответствие не достигается:

Пользуясь той же моделью, легко понять, почему раскрытие цепочки, в которой один мешок пустой, дает пустой мешок. Здесь операция раскрытия цепочки мешков проявляет свойство, аналогичное умножению на нуль. При склеивании цепочек, одна из которых пустая, эта цепочка исчезает: пустая цепочка относительно операции склеивания ведет себя точно так же, как нуль относительно сложения. При раскрытии цепочки мешков ситуация принципиально меняется. Какие рассуждения можно по этому поводу привести детям – обсудим в комментариях к задачам.

Итак, раскрытие цепочки напоминает раскрытие скобок в алгебре и выбор возможности в игре или другом процессе (и на самом деле с ними связано). Очень полезно параллельно с решением задач послушать детей – как они раскрывают цепочки мешков. Интересны, в частности, их объяснения – что и почему получается, если в цепочке есть пустой мешок.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 52. В результате раскрытия цепочки должен получиться мешок с цепочками. Сколько бусин будет в каждой из таких цепочек? Конечно три, ведь, строя каждую цепочку, мы возьмем из каждого мешка ровно по одной бусине. Чтобы узнать, сколько цепочек получится, можно просто начать построение. Первой бусиной в каждой цепочке должна быть одна из бусин первого мешка. Их две, значит, возникают сразу две возможности (и соответственно две цепочки). Можно начать рисовать их одновременно, чтобы ничего потом не забыть. Первой бусиной одной цепочки будет желтый квадрат, а первой бусиной другой – синий треугольник. Чтобы понять, какую бусину поставить на второе место, обратимся ко второму мешку. В нем лишь одна зеленая круглая бусина; значит, она и должна стоять на втором месте в каждой из цепочек. Аналогично, рассмотрев третью бусину, получаем мешок ⊗Б.

Задача 53. Работа с цепочкой R по содержанию не сложнее, чем с цепочкой Б, отличие лишь в материале – он буквенный. Задачу можно усложнить, сросив ребят заранее, сколько должно получиться цепочек в мешке. Рассуждения здесь такие же, как для цепочки Б. Бусины, которые будут стоять на первых пяти местах цепочек мешка, определяются однозначно, так как в каждом из первых пяти мешков всего одна бусина. На шестом месте может стоять любая из четырех бусин шестого мешка, поэтому получаем четыре цепочки-слова: АПТЕКА, АПТЕКИ, АПТЕКЕ, АПТЕКУ.
Можно обсудить с ребятами, что за мешок слов получился. Это мешок всех падежных форм единственного числа слова АПТЕКА.

Задача 54. Закрепляем материал листа определений, относящийся к ситуации, когда в одном из мешков цепочки есть две одинаковые бусины. Идея проста – способ раскрытия цепочки мешков не зависит от того, сколько и какие объекты лежат в мешках. Каждая бусина, будь она отличной от остальных бусин своего мешка или такой же, как какая-то другая, должна «выполнить свою часть работы», то есть поучаствовать в построении такого же числа цепочек, что и все остальные. Если кто-то, прочитав лист определения, не понял, как обстоит дело, то на примере этой несложной цепочки хорошо бы разобраться. Лучший способ – начать строить цепочки по общему правилу. Можно помечать бусины четвертого мешка, которые уже поучаствовали в построении. Понятно, какие бусины будут стоять на первых трех местах всех цепочек в мешке. Рисуем начало – зеленая треугольная, синяя квадратная, желтая круглая. Берем любую бусину из четвертого мешка, например красную круглую, рисуем ее на последнем месте цепочки, а затем помечаем в мешке – она уже поучаствовала в построении. Продолжаем работать таким образом, пока все бусины четвертого мешка не будут помечены. В результате получаем то, о чем уже читали на листе определений – в мешке есть две одинаковые цепочки.
Ответ:

Решение необязательных бумажных задач

Задача 56. Тем, у кого дело сразу не пойдет, посоветуйте сначала понять, где Робот мог стоять в начале, до выполнения программы. Ученик, скорее всего, быстро сообразит, что Робот должен находиться на раскрашенной клетке и иметь возможность дважды сдвинуться вниз. Теперь вместе поставьте Робота на одну из возможных клеток (любую из трех «верхушек» буквы Ш).
Ответ: пропущенные команды: влево, вверх, влево, вверх.

Задача 61. Работая со вторым утверждением, ребята встретятся с новым для них типом толкований – избыточным толкованием. Утверждение добавляет к информации толкового словаря нечто от себя. Мы никак не можем проверить эту новую информацию. Можно просто написать Н – нам это не известно, вполне возможно, что некоторые ребята так и поступят.
Избыточное толкование дает более развернутое, чем в словаре, толкование, включающее новые подробности и детали. Предположим, в словаре есть толкование: «Клест – небольшая лесная птица», а в задании приведено утверждение: «Клест – небольшая лесная птица с перекрещивающимися концами клюва». Такое толкование может быть и истинным, и ложным, в зависимости от того, соответствуют ли новые подробности реальному объекту, к которому относится толкование (в данном примере оно истинно). Но мы в таких случаях совершенно правомерно можем ставить Н, то есть мы этого определить не можем.
Иногда избыточные толкования включением новых деталей отбрасывают часть объема понятия, которая к нему действительно относится. В результате толкование становится ложным, поскольку оно уже не отражает все то понятие, к которому относится. Примером может служить утверждение в задаче: «Дефицит – это недостаток, нехватка лимонада». Сравнивая утверждение с толкованием слова «дефицит» в словаре, мы понимаем, что объем понятия стал слишком узким и не соответствует толкованию в словаре. Из него следует, что это понятие уже не применимо к колбасе, рабочей силе, времени и т. д. Но мы знаем, что на самом деле оно применимо. Поэтому такое толкование правильней считать ложным, чем неопределенным. Многие дети знают это слово и вряд ли согласятся на такое узкое его применение.
Ответ: оба утверждения ложны.

Проект «Дневник наблюдения за погодой», подведение итогов за февраль

Урок 55. Цепочка мешков. Раскрытие цепочки мешков.

План урока

      1. Решение обязательных бумажных задач 55, 57, 58, 59.
      2. Решение необязательных бумажных задач 60, 62.
      3. Проект «Дневник наблюдения за погодой», подведение итогов за март.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 55. Вот пример рассуждений: должен получиться мешок цепочек, в каждой из которых на первом месте стоит какая-нибудь бусина из первого мешка цепочки О, на втором месте – какая-нибудь бусина из второго мешка этой цепочки и т. д. Попробуем построить  цепочку. На первом месте в ней должна стоять зеленая треугольная – единственная бусина первого мешка, на втором – синяя квадратная – единственная бусина второго мешка. На третьем месте должна стоять бусина из третьего мешка, но в этом мешке ничего нет! Поэтому построить нужную цепочку мы не можем. А это значит, что в мешке ⊗О нет ни одной цепочки: это пустой мешок.

Возможно, дети обратят внимание на то, что внешне цепочки мешков О и Д (из задачи 54) очень похожи. Они отличаются только на одну бусину. Однако мешки после раскрытия отличаются очень сильно. Именно такой будет ситуация в произведении любого числа множителей, если один из них заменить на ноль.

Задача 57. Здесь возникнет еще одна проблема – как ничего не пропустить и не нарисовать лишних цепочек. Одним из подходов является дерево раскрытия, обсуждаемое позднее. Мы намеренно помещаем задачи 57 и 58 до темы «Дерево раскрытия цепочки мешков» – нужно, чтобы дети на своем опыте убедились в необходимости какого-то правила работы при раскрытии цепочки мешков. Полезно обсудить с детьми, как каждый организует свою работу, чтобы надежно и уверенно получить правильный ответ. Возможно, кто-то из ребят изобретет свое правило.

Предлагаем следующий подход к этому вопросу: подсчитать заранее, сколько цепочек должно быть в мешке и проверить, совпадает ли число цепочек с найденным, верно ли построены цепочки и нет ли среди них двух одинаковых (ведь в мешках цепочки Q нет одинаковых бусин!). Это гарантирует правильность ответа. Количество цепочек в мешке можно находить как произведение числа бусин в мешках. В данном случае цепочек должно быть четыре.
Ответ: ПАПА, ПАМА, МАМА, МАПА.

Задача 58. Задача ничем не отличается от предыдущей, другими стали только объекты в мешках, теперь это бусины. Если кто-то не может справиться, значит, ему нужно возвращаться к самому началу – к листу определений.
Ответ:

Задача 59. Здесь, как и в задаче 55 у ребят должен получиться пустой мешок.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 60. По окончании решения можно предложить ребятам посмотреть в толковом словаре, что означает получившееся слово и попробовать  это нарисовать.
Ответ: КАРАКАТИЦА.

Задача 62. Задача несложная, но требует работы с определением в обратную сторону. Как правило, невозможно выполнить обратную операцию, не разобравшись в прямой. Поэтому задача сразу выявит тех, кто подошел к определению недостаточно осознанно. Все остальные учащиеся обязательно заметят, что первая буква у всех слов одинаковая, одинаковых слов в мешке нет, и поэтому в первом мешке цепочки одна буква – К. Аналогично, проанализировав вторую и третью буквы, можно увидеть, что слова в мешке различаются только последней, четвертой буквой, а значит, только в четвертом мешке будет несколько различных букв. Понятно, что в данном случае их столько же, сколько слов в мешке ⊗Z. Таким образом, действуя строго по правилу, нужно первые буквы слов обвести бусинами-мешками, а из всех вариантов последней буквы образовать отдельный – последний мешок.
Ответ: