Теория пропорций

Хотя греки под числом подразумевали только натуральное число («совокупность единиц»), у них были важные понятия, которые в дальнейшем оказались тесно связанными с понятием действительного числа. Речь идет о понятиях отношения (по-гречески «логос») и пропорции (по-гречески «аналогия»).

Евклид в «Началах» излагает теорию пропорций, которая, по мнению многих историков, была разработана математиком Евдоксом Книдским. Вот в чем заключалась проблема: понятно, что значит «отрезок AB относится к CD, как два к одному», – это значит, что на первом отрезке второй уложился бы дважды.

Рис. 1. Длины отрезков относятся как целое число

Если сказано, что отрезок AB относится к CD, как три к пяти, – это тоже понятно: значит, существует такой отрезок, который три раза уложится на первом и пять раз на втором. Или, если разделить отрезок AB на три части, то получившийся маленький отрезок уложится пять раз на отрезке CD.

Рис. 2. Длины отрезков относятся как целые числа

Если сказано, например, AB : CD = EF : GH, то это тоже вроде бы понятно: значит, если, например, AB : CD = 3 : 5, то и EF : GH = 3 : 5.

Рис. 3. Пропорция

– А если там не три к пяти, а что-то другое?

– Да то же самое. Пусть, например, AB : CD = m : n, где m и n – два числа. Тогда должно быть и EF : GH = m : n.

– А если нет таких чисел m и n, что AB : CD = m : n? Ведь очень даже может быть, что их нет: AB и CD могут оказаться несоизмеримыми! Как нам тогда убедиться, пропорциональны ли отрезки EF и GH отрезкам AB и CD?

Евклид, а может быть, Евдокс дал определение, сводящееся к следующему (в переводе на современный язык алгебраических обозначений, Евклид писал словами):

Говорят, что величина a так же относится к b, как c к d, если при любых двух чисел m и n справедливо следующее:

  • в случае, когда ma > nb, будет также mc > nd,
  • в случае, когда ma < nb, будет также mc < nd,
  • в случае, когда ma = nb, будет также mc = nd.

Определение кажется очень сложным. Но нетрудно убедиться, что оно работает! Евклид также приводит определяет сравнение между пропорциями: отношение a : b меньше, чем отношение c : d, если есть такие числа m и n, если ma > nb и в то же время mc ≤ nd.

Вообще не про любые величины можно говорить, что они имеют между собой какое-то отношение. Для этого, согласно Евклиду, необходимо, чтобы каждая из величин, взятая некоторое количество раз, могла бы превзойти другую.

Модель 1. Соизмеримые величины

Сейчас это требование к величинам именуют «аксиомой Архимеда», но исторически это название неправильно, поскольку было известно задолго до него. Системы величин, для которых выполняется эта аксиома, называются архимедовыми. Античные математики имели в виду и неархимедовы системы, включающие величины, одна из которых, сколько раз ее ни возьми, не могла бы превзойти вторую. Например, иногда рассматривались «роговидные углы» – углы между касающимися кривыми линиями. Во сколько раз ни увеличивай такой угол, он не превзойдет угол между двумя прямыми.

Рис. 4. Несоизмеримые величины

Евклид вывел целый ряд теорем, в том числе следующие (снова в современных обозначениях):

1) m (a + b + c + ...) = ma + mb + mc + ... для любого числа m;
2) если a : b = c : d, то для любых m и n выполняется ma : nb = mc : nd;
3) если a : b = c : d и c : d = e : f, то a : b = e : f,
4) если a : b = c : d = e : f, то a : b = (a + c + e) : (b + d + f); (*)
5) если a : b = c : d и если a > b, то c > d; если a < b, то c < d; если a = b, то c = d;
6) a : b = ma : mb для всякого числа m;
7) если a : b = c : d, то a : c = b : d;
8) если a : b = c : d, то (a + b) : b = (c + d) : d.

Современные школьники, как правило, не очень вникают в теорию пропорций, понимая (не без оснований – см. следующий урок) отношение двух величин a : b просто как действительное число – частное действительных чисел a и b. Многие свойства пропорций при этом получаются как обычные свойства операции деления действительных чисел. Однако очевидно ли для Вас, например, свойство 4)? Как бы Вы стали его доказывать – на основании теории Евклида или на основании свойств действительных чисел?

Доказательство

В дальнейшем Евклид вводит понятие составного отношения, которое, фактически, соответствует произведению дробей:
a : b = (a : с) ∙ (с : b).

На основе теории пропорций Евклид строит теорию подобия геометрических фигур, доказывая, что площади треугольников и параллелограммов с одинаковой высотой относятся как их основания.

Рис. 5. Отношение площадей фигур с одной высотой

Что отношение площадей параллелограммов с равным углом при основании – в частности, прямоугольников – составляется из отношений их сторон:
SABCD : SA'B'C'D' = (AB : A'B') ∙ (AD : A'D').

Рис. 6. Отношение площадей параллелограммов с равным углом

И что если для четырех отрезков выполняется пропорция a : b = c : d, то площадь прямоугольника со сторонами a и d равна площади прямоугольника со сторонами b и c, то есть, в современных алгебраических обозначениях, ad = bc.

Мы сейчас из формулы a : b = c : d легко выводим формулу ad = bc, не задумываясь, идет ли речь об отрезках a, b, c, d или о величинах какой-либо другой природы, потому что для нас в данном случае a, b, c, d – это прежде всего некоторые действительные числа, которые можно перемножать; для Евклида же это отрезки, а произведение – это площадь прямоугольника со сторонами, равными этим отрезкам.

Теория подобия позволяет легко построить так называемый четвертый пропорциональный отрезок к данным отрезкам a, b и c, то есть такой отрезок x, который так относится к a, как b относится к c (x : a = b : c). Для этого на одной стороне некоторого угла от его вершины K откладываются отрезки KA = a и KC = c, а на другой KB = b. После этого проводится прямая BC и параллельная ей прямая через точку A. Если она пересекает другую сторону угла в точке X, то, по подобию треугольников, KBC и KXA имеем: KX : KA = KB : KC, и отрезок KX – искомый.

Рис. 7. Пропорция