Задача по физике N1204

В расположенном горизонтально закрытом цилиндре справа от гладкого поршня, прикрепленного легкой пружиной к левому дну, находится гелий (см. рисунок). Если бы в цилиндре не было гелия, то поршень касался бы правого дна, а пружина была бы не деформирована. Найти молярную теплоемкость

гелия в этих условиях, считая, что нагревание осуществляется достаточно медленно, а жесткость пружины остается постоянной.

Скрыть решение

Решение

Как обычно, будем считать, что цилиндр покоится относительно инерциальной системы отсчета. Тогда, согласно второму закону Ньютона и условию задачи, можно утверждать, что сила давления гелия на поршень должна уравновешиваться силой упругости пружины, т.к. нагревание осуществляется медленно, а потому ускорением поршня при его движении можно пренебречь. Следовательно, давление гелия на поршень должно быть равно , где — жесткость пружины, а — объем гелия.

С другой стороны, полагая, как обычно, что в интересующем диапазоне температур и давлений уравнение состояния гелия совпадает с уравнением состояния идеального газа, получим, что это давление должно быть равно , где — число молей гелия, — универсальная газовая постоянная, а — абсолютная температура гелия по шкале Кельвина.

Пусть при увеличении температуры гелия на его объем и давление увеличиваются на и , соответственно. Тогда, если соблюдены ранее сделанные предположения, можно утверждать, что должна выполняться система равенств:

$\begin{displaymath} p + \Delta p = \mathchoice{\displaystyle\frac{\left( {T + \... ...}{\displaystyle\frac{\left( {V + \Delta V} \right) k}{S^2}} . \end{displaymath}$

В результате увеличения температуры гелия на потенциальная энергия упруго деформированной пружины (за счет работы гелия по ее сжатию) увеличивается на

$\begin{displaymath} \Delta W_{\rm {П}} = \mathchoice{\displaystyle\frac{k}{2 S^... ...+ \Delta V} \right)^2 - V^2} \right] = 0{,}5 \nu R \Delta T, \end{displaymath}$

а внутренняя энергия гелия возрастает на величину , т.к. в модели идеального одноатомного газа его молярная изохорная теплоемкость равна . Следовательно, согласно первому закону термодинамики, при увеличении температуры гелия на он должен получить количество теплоты . По определению молярная теплоемкость вещества равна . Следовательно, в процессе, заданном в условии задачи, при выполнении сделанных нами предположений искомая молярная теплоемкость гелия равна:

$\begin{displaymath} c = 2 R. \end{displaymath}$

Ответ