Проблема соизмеримости

Как мы видели, Евклид излагает операции с геометрическими величинами совершенно отдельно от операций с числами, подчеркивая, что величины и числа – не одно и то же. Но нельзя ли все же было попытаться свести геометрию к арифметике? Это могло бы быть достигнуто, если бы любой отрезок представить как некоторое количество минимальных, атомарных элементов, из которого состояли бы все отрезки, как числа – из единицы. Целый ряд греческих, да и позднейших, мыслителей пытались каким-то образом реализовать этот «геометрический атомизм».

Возможно, первыми из них были пифагорейцы, учившие, что в основе любой вещи лежит некоторое число. Это число они мыслили не просто даже как набор единиц, а как некую структуру, которую изображали в виде фигуры, составленной из точек (фигурные числа). В частности, уже пифагорейцы называли составные числа – представимые в виде произведения двух сомножителей m × n – «плоскими числами» и изображали их в виде прямоугольников со сторонами m и n. Составные же числа, представимые в виде произведения трех сомножителей, назывались «телесными числами» и изображались в виде параллелепипедов. Простые числа, которые нельзя представить в виде произведений, назывались «линейными числами».

Рис. 1. Линейные, плоские и телесные числа пифагорейцев

Пифагорейцы открыли много свойств чисел, связанных с их делимостью и, в частности, построили теорию четных и нечетных чисел – теорию делимости на 2. Основной результат этой теории заключался в том, что произведение двух чисел четно тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей четен. Из этого следует, что любое число n или само нечетно, или может быть однозначным образом представлено в виде произведения некоторого нечетного числа n1 и некоторой степени двойки: n = 2kn1.

Именно исходя из этого результата пифагорейцы убедились в том, что «геометрический атомизм» несостоятелен: оказывается, существуют несоизмеримые отрезки, то есть такие отрезки, которые нельзя считать кратными одному и тому же отрезку (не существует такого отрезка, который целое число раз укладывается как в одном, так и в другом из данных отрезков). Этот факт оказался поворотным пунктом в развитии математики и получил широкую известность не только среди математиков, поскольку, в общем, противоречил обычному представлению. Так, в произведениях философов Платона и Аристотеля нередко обсуждаются вопросы, связанные с несоизмеримостью. «У всех, кто еще не рассмотрел причину, вызывает удивление, если что-нибудь нельзя измерить самой малой мерой», – писал Аристотель.

Конкретно, пифагорейцы обнаружили, что сторона квадрата и его диагональ несоизмеримы. Доказательство заключалось в следующем. Рассмотрим квадрат ABCD. Предположим, существует такой отрезок, который укладывается m раз на диагонали AC и n раз на стороне AB. Тогда AC : AB = m : n. Будем считать, что хотя бы одно из чисел m и n нечетно. Если это не так и оба четны, то пусть m = 2lm1, а n = 2kn1, где m1 и n1 нечетны; поделим m и n на минимальное из чисел 2l и 2k, получим два числа m и n такие, что AC : AB = m′ : n и по крайней мере одно из них нечетно. В дальнейшем вместо m и n будем писать m и n и считать, что одно из этих чисел нечетно. Если построить квадрат со стороной AC (скажем, ACEF), то площадь этого квадрата будет относиться к площади квадрата ABCD как m2 к n2:

AC2 : AB2 = m2 : n2.
Рис. 2. Доказательство иррациональности

По теореме Пифагора площадь квадрата со стороной AC вдвое больше, чем площадь квадрата ABCD. Таким образом, m2 = 2n2. Значит, m – четное число. Пусть оно равно 2N. Тогда m2 = 4N2. Так как 4N2 = 2n2, n2 = 2N2. Значит, n – тоже четное. Это противоречит предположению о том, что одно из чисел m и n нечетно.

Результат о несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны мы обычно формулируем следующим образом: число иррационально, то есть не выражается в виде дроби m/n, где m и n – целые числа. Слово «иррациональный» происходит от лат. irrationalis – буквально переведенного греч. термина «алогос» («невыразимый [словами]», «непропорциональный», «непонятный», от весьма многозначного «логос», означавшего, в частности, «слово», «пропорция», «ум», а также «учение» и т. д., ср. такие термины, как «геология» – учение о Земле, «биология» – учение о жизни и т. д.). Древние греки же говорили не о «числе », а об отношении диагонали квадрата к его стороне. Если принять какую-либо единицу измерения, скажем, «локоть» (у греков была такая единица), и построить квадрат со стороной 1 (локоть), то площадь квадрата, построенного на диагонали, будет равна 2. Доказанный результат тогда можно сформулировать таким образом: сторона квадрата, площадь которого равна 2, несоизмерима с единичным отрезком. При этом, разумеется, возник вопрос, а в каком случае сторона квадрата, площадь которого выражается неким числом, соизмерима с единичным отрезком, а в каком – несоизмерима? Пифагореец Феодор в V в. до н. э., рассмотрев числа от 3 до 17, показал, что сторона квадрата с площадью, равной какому-либо числу, соизмерима с единичным отрезком, только если это число является полным квадратом, а ученик Феодора Теэтет распространил этот результат на все вообще числа (доказательство, по большому счету, таково же, как и в случае 2). Итак, если корень из какого-либо натурального числа сам не является натуральным числом, то он иррационален. В дальнейшем Теэтет построил доказательство несоизмеримости с единичным отрезком стороны куба объемом N (т. е. иррациональности ), если только N не является кубом какого-либо натурального числа, а также построил теорию иррациональностей различного вида –

Она содержится в «Началах» Евклида.

Открытие несоизмеримых отрезков показало, что геометрические объекты – линии, поверхности, тела – невозможно отождествить с числами и что поэтому необходимо строить их теорию отдельно от теории чисел. Что, в общем, греческие математики и стали делать.