---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Обозначим P(x) = x² – 1996. Пусть x₁, x₂ — корни квадратного уравнения P(x) = x, а x₁, x₂, x₃, x₄ — корни уравнения P(P(x)) = x (x₁, x₂ — те же!), так как P(P(x)) = x равносильно (x² + x – 1995)(x² – x – 1996) = 0, а последнее уравнение имеет четыре различных действительных корня. Далее предположим, что требуемая функция f(x) существует. Тогда число f(x₃) является корнем уравнения P(P(x)) = x. f(x₃) ≠ x₃, так как иначе f(f(x₃)) = f(x₃) = x₃, т. е. P(x₃) = x₃, а на самом деле P(x₃) = –x₃ – 1 = x₄. Аналогично, f(x₃) ≠ x₄, иначе x₄ = f(x₄), что невозможно в силу равноправия x₃ и x₄. Так что f(x₃) = x₁ или f(x₃) = x₂, но это тоже невозможно: если f(x₃) = x_i, i = 1, 2, то P(x₃) = f(x_i). Далее, x₄ = f(x_i), f(x₄) = P(x_i) = x_i, f(x₃) = f(x₄), f(x₃) = P(x₄), x₃ = x₄, а это неверно. Таким образом, f(x₃), являясь корнем уравнения P(P(x)) = x, отлично от всех четырёх его корней. Противоречие.