Задача по физике N1175

На гладкой горизонтальной плоскости стоит клин, привязанный к стене невесомой горизонтальной нерастяжимой нитью. На клин кладут брусок массой

, который начинает соскальзывать с клина. Коэффициент трения бруска о клин равен

. При какой величине угла

сила натяжения нити будет максимальна?

Скрыть решение

Решение

При решении задачи будем, как обычно, пренебрегать влиянием воздуха на рассматриваемые тела и считать стену с плоскостью, на которой стоит клин, неподвижными относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Кроме того, будем предполагать, что при движении бруска нить остается горизонтальной, и, следовательно, клин остается неподвижным, т.к. нить по условию нерастяжима.

$\includegraphics{1175/cb_13mr11}$

На рисунке с учетом сделанных предположений показаны все силы, действующие на брусок: сила тяжести , где — ускорение свободного падения, и составляющие силы реакции клина. Поскольку брусок по условию задачи скользит по клину, величину тангенциальной составляющей силы реакции клина (часто называемой силой сухого трения скольжения), как обычно, будем считать равной максимальному значению силы сухого трения покоя , где — величина нормальной составляющей указанной силы. Учитывая, что плоскость гладкая, можно утверждать, что на этом же рисунке показаны все действующие на клин силы, которые имеют отличные от нуля горизонтальные составляющие: сила натяжения нити, величина которой равна , и сила реакции бруска на клин. Направления и величины ( и составляющих этой силы указаны на рисунке в соответствии с третьим законом Ньютона.

Поскольку брусок скользит по покоящемуся относительно инерциальной системы отсчета клину, согласно второму закону Ньютона должны быть справедливы следующие соотношения

$\begin{displaymath}N = m\textsl{g}\cos \alpha , \quad T = (\sin \alpha - \mu \cos \alpha ) N, \end{displaymath}$

причем коэффициент трения и искомая величина угла наклона должны удовлетворять условию .

Из этих соотношений следует, что

$\begin{displaymath}T = (\sin \alpha \cos \alpha - \mu \cos ^2\alpha )m \textsl{g}.\end{displaymath}$

Приравнивая нулю производную величины силы натяжения по углу , и убедившись, что вторая производная при этом значении отлична от нуля, можно найти искомое значение угла при основании клина. Однако можно найти это значение, и не прибегая к дифференцированию. Действительно, используя известные тригонометрические соотношения, можно показать, что

$\begin{displaymath}T = 0{,}5 ((\sin 2\alpha - \mu \cos 2\alpha ) - \mu ) m\textsl{g}.\end{displaymath}$

Последнее выражение, вводя вспомогательный угол такой, что , можно преобразовать к виду

$\begin{displaymath}T = 0{,}5 \left(\sqrt {1 + \mu ^2} \sin (2 \alpha - \varphi ) - \mu \right) m\textsl{g},\end{displaymath}$

из которого следует, что максимально при , т.е. при . Поэтому искомая величина угла при выполнении сделанных предположений должна удовлетворять условию:

$\begin{displaymath}\alpha = 0{,}5\arcctg ( - \mu ) = 0{,}25 \pi + 0{,}5 \arctg \mu > \arctg \mu,\end{displaymath}$

причем указанное неравенство справедливо при любом .

Ответ