Урок 3.13 Задачи со свободным параметром

Пример 3

При каких значениях параметра a уравнение 5cos x + sin x + cos(xb) = a имеет хотя бы одно решение для любого значения параметра b?

Решение

Для каждого значения параметра b обозначим символом G(b) множество значений функции
f(x) = 5cos x + sin x + cos(xb). В условии задачи требуется, чтобы заданное уравнение имело решение при любом значении b, то есть искомые значения параметра a должны принадлежать всем множествам G(b) одновременно.
Поступим теперь следующим образом: подберем такое «неудобное» для уравнения значение b0 параметра b, которое соответствует «самому маленькому» из всевозможных множеств G(b), то есть для всех значений b должно выполняться включение G(b0) Í G(b). Тогда множество G(b0) и будет являться ответом задачи.
Для этого преобразуем уравнение, воспользовавшись формулой введения вспомогательного угла:

, где .
Выберем b0 = j + p, тогда функция f(x) = 5cos x + sin x + cos(xb) приобретет вид: .
Ее множеством G(b0) значений является отрезок .
Проверим, что множество значений функции всегда содержит этот отрезок, независимо от числа b. Для этого вычислим и . Теперь ясно, что даже множество значений этой функции, принимаемых этой функцией на отрезке [jp; j] , содержит множество
G(b0) = .

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"