Урок 3.13 Задачи со свободным параметром

Пример 2

Найти множество всех пар чисел (a; b), для каждой из которых при всех x справедливо равенство
a(cos x – 1) + b2 = cos(ax + b2) – 1.

Решение

В данном случае свободной является переменная x (она может принимать любые значения). Чтобы получить необходимые условия, позволяющие отбросить большинство значений параметров (a; b), как заведомо не удовлетворяющих условию задачи, и оставить для дальнейшей проверки лишь конечное множество пар (a; b), поступим следующим образом: выберем и последовательно подставим в исходное тождество несколько «удобных» нам значений переменной x (то есть таких значений, подстановка которых заведомо упрощает вид тождества).
1. Подставим x = 0, следовательно a(cos 0 – 1) + b2 = cos(a0 + b2) – 1 Û b2 + 1 = cos b2. Решим полученное для переменной b уравнение: из очевидных неравенств сразу вытекает, что полученное уравнение равносильно системе: .
Итак, необходимо, b = 0.
Полагая b = 0 в исходном равенстве, получаем a(cos x – 1) = cos(ax) – 1.

2. Подставим теперь x = 2p, тогда тождество примет вид cos(2pa) = 1 Û a = k, k Î Z.
3. Наконец, подставим x = p, тогда получим –2a = cos(pa) – 1, или cos(pa) = 1 – 2a, следовательно, с учетом пункта 2, имеем:
, то есть .
Достаточность. Проверим две оставшиеся возможные пары и , просто подставив их в тождество:
, равенство принимает вид 0 = 0 – верно при всех x Î R.
, равенство принимает вид cos x – 1 = cos x – 1 – верно при всех x Î R.

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"