Задача по физике N1140

На кольцо радиусом

, сделанное из гладкой жесткой тонкой проволоки, надета маленькая бусинка, к которой прикреплена невесомая нерастяжимая нить длиной

. Кольцо закреплено на вертикальной оси, совпадающей с одним из его диаметров. Если свободный конец нити прикрепить к верхней точке кольца, а затем начать медленно раскручивать кольцо вокруг оси, то нить лопнет, когда угловая скорость вращения станет равной

. При какой угловой скорости лопнула бы эта нить, если бы она была прикреплена к нижней точке кольца?

Скрыть решение

Решение

При решении задачи, как обычно, будем предполагать, что ось, вокруг которой вращается кольцо, неподвижна относительно лабораторной системы отсчета, которую будем считать инерциальной. Поскольку кольцо сделано из гладкой проволоки, сила реакции кольца, действующая на бусинку, может иметь составляющие, направленные только по нормали к проволоке. Из-за того, что сила натяжения нити может быть направлена только вдоль нити, а сила тяжести , где — масса бусинки, а — ускорение свободного падения, направлена вертикально вниз, действующие на бусинку силы должны быть расположены так, как показано на левом рисунке, если свободный конец нити прикреплен к верхней точке кольца, или как показано на правом рисунке — во втором случае.

$\includegraphics{1140/CB_11MR3}$

На этих рисунках и — составляющие силы реакции кольца на бусинку, лежащие в плоскости кольца, а точка — центр кольца. Поскольку длина нити равна радиусу кольца, то силы натяжения нити и и показанные на рисунке составляющие силы реакции кольца и направлены под углом к горизонту. Согласно второму закону Ньютона эти силы должны компенсировать действие силы тяжести и обеспечить бусинке центростремительное ускорение, величина которого равна . Если величину силы натяжения нити, при которой происходит разрыв нити, обозначить , то в соответствии со сказанным получим:

$\begin{displaymath}T \sin 30{}^{\circ}= N_1 \sin 30{}^{\circ}+ m\textsl{g}, \qua... ... + N_1 )\cos 30{}^{\circ}= m \omega _1^2 R\cos 30{}^{\circ}, \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}N_2 \sin 30{}^{\circ}= T\sin 30{}^{\circ}+ m\textsl{g}\quad {... ... + N_2 )\cos 30{}^{\circ}= m \omega _2^2 R\cos 30{}^{\circ}. \end{displaymath}$

Из этих уравнений следует, что искомая угловая скорость, при которой произойдет разрыв нити, если ее свободный конец прикрепить к нижней точке кольца, должна быть равна

$\begin{displaymath}\omega _2 = \sqrt {\omega _1^2 + {4\textsl{g}} / R} . \end{displaymath}$

Ответ