Теорема Птолемея

Школьная геометрия содержит множество формул так называемых тригонометрических преобразований, например, формулы для синусов и косинусов суммы и разности углов:

sin (α + β) = sin α ∙ cos β + cos α ∙ sin β,
sin (α – β) = sin α ∙ cos β – cos α ∙ sin β,
cos (α + β) = cos α ∙ cos β – sin α ∙ sin β,
cos (α – β) = cos α ∙ cos β + sin α ∙ sin β.

Это довольно полезные формулы. В частности, с помощью сложения первых двух формул можно получить формулу для произведения sin α ∙ cos β, а с помощью сложения или вычитания вторых двух формул – формулы для произведений cos α ∙ cos β и sin α ∙ sin β. Кроме того, если в первой и третьей из исходных формул положить β = α, то получатся формулы для синуса и косинуса удвоенного угла, а по ним можно найти и формулы для синуса и косинуса половинного угла.

Знаете ли вы все эти формулы? Если нет, то вот они:

Решение

Интересно, а когда были открыты все эти формулы или хотя бы самые первые из них, про синус и косинус суммы и разности углов (все остальные, как мы видели, из них следуют)? Знали ли эти формулы, к примеру, древние греки? Оказывается, да! Здесь надо оговориться: как мы уже сказали раньше, слов «синус» и «косинус» у древних греков не было. Но сами факты, выражаемые данными формулами, они знали. Кто до них первый додумался, неизвестно, но эти факты приводятся в сочинении «Альмагест» греческого астронома Клавдия Птолемея – именно в том самом «Альмагесте», который в течение полутора тысяч лет оставался главной книгой по астрономии и в котором изложена знаменитая геоцентрическая система мира, конец которой положила лишь работа Коперника.

Рис. 1. Обложка средневекового переиздания «Альмагеста»

Дело в том, что астрономам, чтобы производить измерения и расчеты, нужно хорошо знать геометрию сферы и, в частности, уметь находить по углу стягивающую его хорду и наоборот. В современных обозначениях, если радиус окружности R, то длина хорды, стягивающей угол 2α, равна 2R sin α.

Рис. 2. Астрономические наблюдения производятся в сферических координатах. Слово хорда обозначает «тетива лука». Геометрический квадрат – инструмент, использовавшийся в астрономии

Для вычисления хорды по углу служат таблицы – сейчас это таблицы синусов, а Птолемей в «Альмагесте» приводит таблицу хорд для углов от 0 до 180° через каждые полградуса (т. е. 30′), что эквивалентно таблице синусов от 0 до 90° через каждые четверть градуса (т. е. 15′). Птолемей делит радиус данной окружности на 60 равных частей и находит длины хорд в этих шестидесятых частях радиуса (мы сейчас для определения синусов и косинусов пользуемся окружностью единичного радиуса, для нас синус и косинус – числа, модули которых лежат от 0 до 1). Как другие греческие астрономы его времени, Птолемей пользуется Вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Если надо перейти к единичной окружности, то для этого нужно значения хорд поделить на 60, то есть сдвинуться на один разряд в записи шестидесятеричного числа, как в нашей десятичной записи, если мы хотим поделить число на 10. Между прочим, для измерения углов мы до сих пор пользуемся той же шестидесятеричной системой, что и Птолемей: делим окружность на 360 (то есть на 6 ∙ 60) градусов, градус – на 60 минут, а минуту – на 60 секунд.

По хорде угла 2α Птолемей мог с помощью теоремы Пифагора находить хорду смежного угла (180° – 2α), которая, в современных обозначениях, равна 2R cos α, то есть, фактически, кроме синуса, использовался и косинус.

Рис. 3Косинус угла равен длине хорды смежного угла

Если была известна хорда угла 2α, то можно было найти и хорду вдвое меньшего угла α (равную 2sin (α/2)), на рисунке эта хорда обозначена AM.

Рис. 4. Треугольники ADM и AKM подобны

Т. к. у прямоугольных треугольников AMD и KMA. общий острый угол M, они подобны, а значит:

AM/DM = KM/AM, откуда AM2 = DM ∙ KM.

При этом:

поэтому:

откуда известная формула:

Из правильных 3-, 4- и 5-угольника, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, были известны хорды углов 60°, 90° и 72° (то есть синусы углов 30°, 45° и 36°) и дополнительных к ним. Деля эти углы пополам с помощью вышеописанного метода, можно было найти и хорды углов 60°/2n, 90°/2n и 72°/2n.

Итак, у нас есть хорды углов:

60°, 30°, 15°, 7° 30′, ..., и смежных – 120°, 150°, 165°, 172° 30′, ...;
90°, 45°, 22° 30′, ..., и смежных –135°, 157° 30′, ..., а также 135°/2 = 67° 30′, ...;
72°, 36°, 18°, 9°, 4° 30′, ... и смежных – 108°, 144°, 168°, 171°, 175° 30′;
а также 108°/2 = 54°, 27°, 13° 30′, ...

 

Рис. 5. Получение длин хорд из уже известных путем деления угла пополам

Чтобы находить другие хорды, нужно знать, как от хорд углов α и β перейти к хордам углов α ± β, то есть иметь аналог формул для sin (α + β) и sin (α – β). Заметим, что с помощью всех вышеуказанных способов можно получить угол, равный 1° 30′(9° – 7° 30′), но нельзя получить угла в 30′ (хорду этого угла Птолемей получает другим методом).

Для того чтобы от хорд углов α и β перейти к хордам их суммы и разности, Птолемей использует теорему, которую часто называют его именем. У нее весьма красивая формулировка.

Теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD.

 

Модель 1. Теорема Птолемея

 

Рис. 6. Доказательство теоремы Птолемея

Отметим на AC точку M такую, что ABM = DBC. Т. к. вписанные углы BDC и BAC опираются на одну и ту же хорду BC, они тоже равны друг другу. Таким образом, треугольники BDC и BAM подобны, а значит, CD/BD = MA/BA, или, перемножая крест на крест, MA ∙ BD = AB ∙ CD.

Рис. 7. Доказательство теоремы Птолемея

В то же время ABD = MBC (т. к. ABM = DBC), а BCA = BDA, как опирающиеся на одну хорду AB. Значит, AD/BD = MC/BC, или, перемножая крест на крест, MC ∙ BD = AD ∙ BC.

Складывая почленно равенства MA ∙ BD = AB ∙ CD и MC ∙ BD = AD ∙ BC, получаем (MA + MC) ∙ BD = AB ∙ CD + AD ∙ BC, или AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD, что и требовалось доказать.

Теперь выведем формулу синуса суммы углов.

Рис. 8. Вывод формулы синуса суммы углов

Пусть AOC = 2α, а AOD = 2β, тогда COD = 2 (α + β).

Согласно вышеприведенным формулам для хорд, стягивающих углы,

 

AC = 2R sin α, AD = 2R sin β,
CD = 2R sin (α + β),
BC = 2R cos α, BD = 2R cos β,

 

и, на основании теоремы Птолемея,

 

AB ∙ CD = AC ∙ BD + BC ∙ AD,
2R ∙ 2R sin (α + β) = 2R sin α ∙ 2R cos β + 2R cos α ∙ 2R sin β,

 

отсюда и получаем:

 

sin (α + β) = sin α ∙ cos β + cos α ∙ sin β.

 

А теперь выведем формулу для синуса разности углов.

Рис. 9. Вывод формулы синуса разности углов

Пусть AOB = 2α, а AOD = 2β, тогда BOD = 2 (α – β).

 

Согласно вышеприведенным формулам для хорд, стягивающих углы,

 

AB = 2R sin α, AD = 2R sin β,
BD = 2R sin (α – β),
BC = 2R cos α, CD = 2R cos β.

 

И, на основании теоремы Птолемея,

 

2R sin α ∙ 2R cos β = 2R ∙ 2R sin (α – β) + 2R cos α ∙ 2R sin β,

 

отсюда и получаем:

 

sin (α – β) = sin α ∙ cos β – cos α ∙ sin β.