Задача по физике N1121

В стену вбит тонкий гвоздь, ось которого горизонтальна, а с потолка свешивается невесомая пружина жесткостью

из тонкой проволоки, на конце которой сделано колечко. В это колечко продета легкая нить, перекинутая через гвоздь. На концах нити закреплены грузы массой

. При равнопеременном установившемся движении грузов нить располагается в вертикальной плоскости, параллельной стене, а ось пружины образует с вертикалью некоторый угол. Пренебрегая сопротивлением движению тел, найти возможные удлинения пружины.

Скрыть решение

Решение

Будем считать лабораторную систему отсчета, неподвижную относительно стен и потолка, инерциальной. Из условия задачи нельзя однозначно сказать, находятся ли гвоздь и колечко пружины на одной горизонтали или нет. Поэтому следует рассмотреть два случая: 1) колечко находится выше гвоздя и 2) колечко располагается ниже гвоздя. Пренебрежем массой нити. Тогда в обоих случаях отрезок нити между колечком и гвоздем можно считать прямолинейным, но он может быть и не горизонтальным. Однако при установившемся равнопеременном движении грузов два других отрезка нити, к концам которых прикреплены грузы, должны быть вертикальными. Поскольку по условию задачи ось пружины не совпадает с вертикалью, то соответствующие указанным выше случаям действующие на колечко силы и со стороны нити и сила со стороны остальной части пружины могут быть ориентированы только так, как показано на рисунке.

$\includegraphics{1121/CB_11MR6}$

По условию задачи сил трения нет. Поэтому величины сил натяжения нити по разные стороны от колечка и гвоздя должны быть равны между собой. Поскольку на колечко не действует сила тяжести (по условию задачи пружина невесома), линия действия силы натяжения пружины должна совпадать с биссектрисой угла, образованного линиями действия сил натяжения нити, а модули указанных сил должны удовлетворять соотношению:

$\begin{displaymath}F = 2 T\cos \alpha, \qquad (1) \end{displaymath}$

где — половина угла между линиями действия сил натяжения нити.

Из сказанного ранее и невесомости нити следует, что величина силы натяжения нити остается неизменной в любом ее сечении, пока грузы движутся заданным образом. Поэтому длина нити при заданном движении грузов должна оставаться неизменной, а ускорения грузов, движущихся по вертикали, должны быть одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Пусть проекция ускорения первого груза на направление ускорения свободного падения равна . Тогда в соответствии с ранее сказанным на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что

$\begin{displaymath} m_1 a = m_1 \textsl{g}- T \quad {\rm {и}} \quad m_2 a = T - m_2 \textsl{g}. \end{displaymath}$

Находя из этих уравнений величину силы натяжения нити и учитывая, что по условию задачи величины деформации пружины и действующей на колечко со стороны оставшейся части пружины силы должны удовлетворять закону Гука: , из уравнения (1) определим величину косинуса угла :

$\begin{displaymath}\cos \alpha = \mathchoice{\displaystyle\frac{F}{2 T}}{\displa... ...left( {m_1 + m_2 } \right) k \Delta x}{4 m_1 m_2 \textsl{g}}}.\end{displaymath}$

Поскольку в соответствии с рисунком и условием задачи , то , и из предыдущего соотношения следует, что искомая величина деформации пружины должна удовлетворять неравенству:

$\begin{displaymath}0 < \Delta x < \frac{4 m_1 m_2 \textsl{g}}{(m_1 + m_2 ) k}.\end{displaymath}$

Ответ