Изопериметрическая задача и некоторые другие задачи на максимум и минимум. Урок 1

Слово «изопериметрический» происходит от слов «изос» (по-гречески «равный») и «периметр». Изопериметрическая задача (на плоскости) состоит в нахождении фигуры, имеющей наибольшую площадь среди всех фигур с одним и тем же периметром. Решение изопериметрической задачи является также решением и другой задачи, а именно: найти фигуру наименьшего периметра среди всех равновеликих фигур.

В самом деле, пусть среди фигур, имеющих периметр наибольшая площадь – у фигуры и эта площадь равна Рассмотрим произвольную другую фигуру той же площади. Пусть ее периметр равен Рассмотрим подобную ей фигуру с периметром Площади фигур и относятся так же, как квадраты периметров, то есть как к , поэтому площадь фигуры равна Поскольку ее периметр, по предположению, равен ее площадь меньше, чем у фигуры то есть меньше А значит, откуда Получается, что фигура имеет меньший периметр, чем любая другая равновеликая ей фигура.

Рис. 1. Задача о нахождении фигуры наибольшей площади эквивалентна задаче о нахождении наименьшего периметра

Вообще, поскольку у подобных фигур площади пропорциональны квадратам периметров, у всех них одинакова величина S/p2, а у фигур разной формы эта величина может отличаться. У фигур, представляющих решение изопериметрической задачи (независимо от размера), величина S/p2 должна быть наибольшей.
(В дальнейшем будем называть эту величину изопериметрическим частным).

Заметим, что задача о наименьшей площади фигур с одним и тем же периметром особого смысла не имеет: например, при данном периметре p можно делать все меньше и меньше одну из сторон прямоугольника (a), другая же его сторона, равная (p/2 – a), ограничена сверху величиной p/2, а значит, площадь этой фигуры будет не больше ap/2. Даже если, например, p = 1 000 000 км, можно сделать площадь S < 0, 000 001 мм2, если положить a = 2∙10–8 мм; если надо получить еще в 1000 раз меньшую площадь, надо и a уменьшить в 1000 раз, и т. д. Таким образом, минимальной площади при данном периоде не существует: площадь может сколь угодно мало отличаться от нуля.

Рис. 2. Задача о нахождении фигуры наименьшей площади

По аналогии с указанной изопериметрической задачей на плоскости можно рассмотреть и пространственную изопериметрическую задачу: какое трехмерное тело среди всех тел той же площади поверхности имеет наибольший объем. Уже древнегреческим математикам был известен ответ в изопериметрической задаче: в плоском случае искомая фигура – это круг (а в пространственном – шар). На эту мысль, наводит, во-первых, непосредственное сравнение площадей некоторых фигур равного периметра (или равной площади поверхности). Посмотрите на зависимость изопериметрического частного от формы плоских фигур.

Рис. 3. Изопериметрическое частное различных фигур

Во-вторых, некоторые физические соображения также показывают, что ответ в изопериметрической задаче – это круг или шар. Например, капельки воды и мыльные пузыри не случайно имеют форму шара: силы поверхностного натяжения действуют так, чтобы уменьшать площадь поверхности. Характерно также, что кошки, когда холодно, спят, максимально сворачиваясь в клубок: так они уменьшают площадь поверхности тела, поскольку, чем меньше поверхность, тем меньше тепла они расходуют во внешнее пространство.

Рис. 4. Минимальные поверхности

В третьих, древние греки считали круг наиболее совершенной фигурой (она максимально симметрична, именно такую форму имеют небесные тела и их орбиты). Это соображение увеличивало их уверенность в том, что именно круг, помимо других своих интересных свойств, должен также быть решением изопериметрической задачи.

Но вот геометрически древние греки доказать этого не могли, хотя и пришли к ряду частных, но важных результатов на эту тему, в том числе, в решении разнообразных задач о том, у какой фигуры определенного типа с заданными условиями площадь имеет наибольшее значение. Исследования такого рода имели не только теоретическое, но и практическое значение: при разделе земли в древности иногда совершались махинации, связанные с выдачей кусков большого периметра и маленькой площади; периметр легче измерить, чем площадь, поэтому некоторые доверчивые клиенты судили о величине участка земли по периметру.

Наверное, один из самых простых результатов на тему изопериметрических фигур – теорема о том, что из всех прямоугольников одинакового периметра наибольшую площадь имеет квадрат. В самом деле, пусть периметр всех рассматриваемых прямоугольников равен 4a, а у данного прямоугольника две большие стороны равны (a + x) каждая, а две меньшие, соответственно, (a – x) каждая. Тогда площадь прямоугольника равна (a + x) (a – x) = a2 – x2, то есть она не меньше a2 и достигает своего наибольшего значения тогда, когда прямоугольник является квадратом со стороной a.

Модель 1. Задача из «Начал» Евклида

В «Началах» Евклида имеется единственная задача на максимум площади. Требуется в данный треугольник ABC вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади. Попробуйте экспериментальным путем найти искомый параллелограмм.

Решение

Зенодор (II в. до н. э.) написал целый трактат «Об изопериметрических фигурах». Хотя трактат Зенодора не сохранился, некоторые его результаты дошли до нас в изложении математиков Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.), в том числе следующие теоремы:

  • из двух треугольников с общей стороной и равными периметрами меньше площадь того, которому принадлежит наибольший из четырех углов, прилежащих к этой стороне (отсюда сразу следует, что из всех треугольников равного периметра, имеющих общее основание, площадь максимальна у равнобедренного треугольника);

    Модель 2. Изопериметрическое частное – зависимость от угла
  • при одинаковом числе сторон и равных периметрах площадь правильного многоугольника больше, чем неправильного;

    Рис. 5. Изопериметрическое частное – симметрия фигуры
  • из двух правильных многоугольников с равными периметрами больше площадь того, у которого больше сторон.

    Рис. 6. Изопериметрическое частное – зависимость от числа сторон

Таким образом, чем «ближе» многоугольник к кругу, тем, действительно, больше его изопериметрическое частное.

 

Нельзя не упомянуть об очень древней задаче, известной как задача Дидоны. Согласно древнему мифу, воспроизведенному в поэме Вергилия «Энеида», будущая основательница Карфагена – Дидона (вероятно, IX в. до н. э.) – бежала от преследований своего брата, тирана финикийского города Тир, на корабле с небольшим отрядом преданных ей людей. Они высадились на североафриканском побережье, принесли богатые подарки местному царю и попросили о выделении им участка; царь согласился отдать лишь «столько земли, сколько занимает воловья шкура». Тогда Дидона сделала из шкуры длинный тонкий ремень и огородила им значительную территорию на берегу моря, где и возник город Карфаген. Задачей Дидоны традиционно называется задача о том, какую форму должен иметь этот участок, чтобы занять наибольшую территорию при заданной длине ремня. Рассмотрим эту задачу для случая, когда берег прямолинеен. Пусть ремень имеет длину L и опоясывает некую фигуру Ф1. Отразим ее относительно берега. Тогда ремень и его отражение вместе являются границей (длины 2L) новой фигуры Ф2, составленной из фигуры Ф1 и ее отражения. Если решение изопериметрической задачи – круг, то площадь Ф2 (при данном периметре 2L) максимальна, когда Ф2 – круг. Но поскольку площадь Ф2 ровно в 2 раза больше, чем у Ф1, площадь Ф1 тоже максимальна, если Ф2 – круг, а ремень, соответственно, образует полуокружность.

Рис. 7. Задача Дидоны