Урок 3.8 Решение уравнений и неравенств относительно параметра

Пример 4

Найти все значения a, для которых уравнение имеет решение.

Решение

Заменим t = sin x, −1 ≤ t ≤ 1 и воспользуемся схемой решения иррациональных уравнений.
Согласно схеме, уравнение равносильно системе:
(1)
Попытка решить последнее уравнение системы относительно переменной t (уравнение четвертой степени!) наталкивается на значительные технические трудности. Поэтому запишем это уравнение по степеням параметра a. Получается квадратное уравнение:

Тогда система (1) равносильна совокупности двух систем:

Система (*) противоречива: t2a = −t − 1 ≥ 0, значит t ≤ −1, что невозможно.
Выясним, при каких значениях параметра a разрешима система (**). Так как t2a = t и t ≥ 0, то неравенство t2a ≥ 0 следует из остальных условий системы (**). Квадратный трехчлен t2t принимает на [0; 1] все значения из , поэтому:

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"