Задача по физике N1097

Груз массой

прикреплён к подвижному блоку, подвешенному на нити, один из концов которой намотан на шкив радиусом

, а другой конец перекинут через соосный, скреплённый с первым шкив радиусом

и наматывается на вал, приводимый во вращение при помощи двигателя (см. рисунок). Скорость горизонтального участка нити равна

. Найдите мощность, которая развивается двигателем при поднятии груза, считая, что нить не проскальзывает по шкивам.

Скрыть решение

Решение

При движении с постоянной скоростью мощность силы можно рассчитать по формуле , где — сила, с которой тянут груз, а — скорость поднятия груза. Скорость найдём из уравнения кинематической связи. Направим ось вверх, начало отсчёта выберем на уровне начального положения груза. Обозначим скорость вращения крайних точек малого шкива через . Поскольку скорость вращения крайних точек большого шкива равна скорости горизонтального участка нити , то изменение координаты груза за время можно выразить из уравнения

$\begin{displaymath} 2\Delta x = V \Delta t - V'\Delta t, \end{displaymath}$

где первое слагаемое в правой части уравнения равно длине нити, наматывающейся через большой шкив на вал двигателя за время

, а второе слагаемое — длине нити, разматывающейся с малого шкива за то же время

. Учитывая, что угловые скорости обоих шкивов одинаковы, можно записать:

. Выразим отсюда

, подставим это выражение в предыдущее уравнение и разделим его на

. В результате получаем:

$\begin{displaymath} \mathchoice{\displaystyle\frac{2\Delta x}{\Delta t}}{\disp... ...}{\displaystyle\frac{r}{R}}{\displaystyle\frac{r}{R}}\right). \end{displaymath}$

Отсюда находим скорость

поднятия груза:

Поскольку груз поднимается равномерно, то сумма действующих на него сил равна нулю: . Таким образом, получаем окончательное выражение для мощности, развиваемой двигателем при поднятии груза: .

Ответ