Развитие теории конических сечений

Фундаментальный трактат Аполлония Пергского «Конические сечения» состоял из восьми книг. Греческий текст четырех из них сохранился, еще три дошли до нас в арабском переводе, восьмую книгу реконструировал в XVIII в. Э. Галлей. Труд Аполлония чрезвычайно богат содержанием, многие подходы, примененные в нем, впоследствии переросли в отдельные развитые разделы геометрии.

По отношению к предшественникам новаторство Аполлония выразилось, в частности, в общности, с которой он подошел к своему предмету. Прежде всего, Аполлоний определил конические сечения как сечения плоскостью, которая не обязана быть перпендикулярной образующей конуса. Кроме того, Аполлоний, как уже было сказано, рассматривал и вторую ветвь гиперболы, а для этого учел, что конус состоит из двух полостей. Это было необходимо для того, чтобы теории имели нужную общность – иначе пришлось бы оговаривать слишком много исключений. Таким образом, парабола перестала быть сечением только тупоугольного конуса, эллипс – остроугольного, а гипербола – тупоугольного. Более того: Аполлоний рассматривал не только прямые круговые конусы (то есть такие, в которых перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания), но и произвольные круговые конусы.

Рис. 1. Конические сечения Апполония

Аполлоний показал, что сечения произвольного конуса любыми плоскостями приводят только к этим трем типам кривых (не считая некоторых вырожденных случаев, например, когда сечение состоит из пары пересекающихся прямых). Именно поэтому он и должен был изменить терминологию: вместо «сечения прямоугольного (остроугольного, тупоугольного) конуса» Аполлоний ввел термины «парабола», «эллипс», «гипербола». На прошлом уроке мы видели, что эти термины связаны с формой уравнений («симптомов»), определяющих данное сечение. Аполлоний показал, что соотношение между координатами, выражаемое симптомом данного сечения:
y2 = 2px для параболы,
y2 = 2px – (p/ax2 для эллипса,
y2 = 2px + (p/ax2 для гиперболы,
не меняется, если за ось абсцисс брать не только ось конического сечения.

Здесь необходимо ввести новый термин. Диаметрами эллипса или гиперболы называются любые отрезки, проходящие через центр эллипса или гиперболы. (Надеюсь, вы понимаете, что такое центр гиперболы? Это ее центр симметрии – точка пересечения асимптот.) А диаметром параболы называется любая прямая, параллельная оси параболы (то есть пересекающая параболу ровно в одной точке). Так вот, Аполлоний показал, что симптом конического сечения будет иметь тот же самый вид, если ось абсцисс является произвольным диаметром данного конического сечения, а ось ординат – касательной в одном из концов этого диаметра. Таким образом, это будут уже не прямоугольные координаты: абсциссы будут отрезками диаметра, а ординаты – полухордами, параллельными соответствующей касательной. (У конических сечений есть свойство, что хорды, параллельные этой касательной, делятся пополам данным диаметром).

Рис. 2. Вид уравнений конических сечений сохраняется в координатах, образованных диаметром и касательной

В случае эллипса и гиперболы для каждого диаметра можно определить сопряженный ему диаметр, то есть диаметр, параллельный касательным, проведенным в концах исходного диаметра.

Рис. 3. Сопряженные диаметры

Сопряженные диаметры играют большую роль в теории Аполлония. В частности, он доказывает, что:

  • сумма квадратов сопряженных диаметров эллипса постоянна;
  • параллелограмм, построенный на сопряженных диаметрах эллипса, имеет постоянную площадь.

Аполлоний много занимается вопросами о виде уравнений конических сечений по отношению к осям координат, совпадающим с двумя разными диаметрами, в частности, сопряженными. В современных обозначениях, уравнения эллипса и гиперболы по отношению к сопряженным диаметрам (так называемые центральные уравнения эллипса и гиперболы) выглядят так:

x2/a2 + y2/b2 = 1 (эллипс),

x2/a2 – y2/b2 = 1 (гипербола).

В частности, в качестве сопряженных диаметров могут быть выбраны оси эллипса и гиперболы.

 

Упражнение.

Исходя из симптомов эллипса и гиперболы, докажите, что при надлежащем выборе осей координат их точки удовлетворяют центральным уравнениям.

Доказательство

Аполлоний рассматривает вопросы о числе точек пересечения двух конических сечений (показывая, что таких точек существует не более четырех).

Рис. 4. Пересечения конических сечений

Кроме того, он изучает касательные и нормали (перпендикуляры к касательным в точках касания) к коническим сечениям, изучает проблемы подобия касательных сечений. Аполлоний развивает и методы проективной геометрии, изучающей свойства фигур, не меняющиеся при проектировании.

В современных изложениях теории конических сечений обычно не уделяется большого внимания «симптомам» (гораздо чаще приводятся центральные уравнения), но всегда называется ряд свойств, которые нередко даже берутся за определение тех или иных конических сечений. Это фокальные, оптические и директориальные свойства конических сечений.

Фокальные и оптические свойства эллипса и гиперболы доказываются у Аполлония, хотя и не занимают центрального положения в его книге. На оси эллипса и гиперболы есть две симметрично расположенные точки – фокусы – такие, что сумма (у эллипса) или модуль разности (у гиперболы) расстояний от произвольной точки сечения до фокусов есть величина постоянная. Это свойство используется при так называемом «способе садовника», позволяющем создавать овальные клумбы: а именно, в две точки (фокусы эллипса) вбиваются два кола, к ним привязывается веревка, равная большой оси эллипса; веревка натягивается палкой с острым концом, которым на земле вычерчивается эллипс.

Рис. 5. Фокальные свойства эллипса и гиперболы

Оптическое свойство эллипса и гиперболы заключается в том, что отрезки, проведенные из фокусов к некоторой точке эллипса, образуют равные углы с касательной. В связи с этим если в один из фокусов эллиптического зеркала поместить источник света, то лучи, отразившись, соберутся в другом фокусе: если источником является, например, свеча, то предмет, помещенный в другой фокус, может загореться. Отсюда и происходит термин «фокус» (лат. focus – «очаг»), введенный И. Кеплером. На этом свойстве основаны и некоторые эффекты с распространением звуковых волн в зданиях с овальными стенами, сводами и др., когда шепотом произнесенное слово в одном из фокусов оказывается слышно в другом. В результате отражения в гиперболическом зеркале не лучи, исходящие из фокуса, а их продолжения соберутся в другом фокусе: они создадут иллюзию, что источник света находится в другом фокусе. Наконец, существует и оптическое свойство параболы, не рассмотренное Аполлонием: параболическое зеркало собирает в одной точке параллельные лучи; в частности, лучи, параллельные оптической оси, собираются в фокусе параболы. На этом свойстве основано действие зажигательных зеркал, собирающих параллельные солнечные лучи в одной точке.

Рис. 6. Оптические свойства конических сечений

Согласно легенде, Архимед использовал этот принцип при обороне Сиракуз от римлян, поджигая таким образом вражеские корабли. Параболические зажигательные зеркала описаны Диоклом в особом трактате. Диокл писал после Аполлония, но использовавшим более старую терминологию («сечение прямоугольного конуса» вместо «парабола»). Диокл упоминает, что зажигательными зеркалами занимался Досифей – современник и друг Архимеда, адресовавшего ему ряд произведений. Директориальное свойство, вероятно, не составляло бы труда для Аполлония, но он, тем не менее, не сформулировано в его книге; оно встречается в античности у Паппа Александрийского. Это свойство заключается в том, что существуют такая прямая (директриса) и такая точка (фокус), что отношение расстояния от точки конического сечения до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная: у эллипса оно меньше единицы, у параболы равно единице, у гиперболы больше единицы. Это отношение называют эксцентриситетом конического сечения. У параболы одна директриса и один фокус, а у эллипса и гиперболы по две симметрично расположенные директрисы, что соответствует двум фокусам.

Рис. 7. Директориальные свойства конических сечений

Определение фокуса и, соответственно, фокальное свойство у Аполлония довольно мало наглядны. Однако существует способ весьма наглядного доказательства фокального и директориального свойств конических сечений, исходящего только из их определений как сечений конуса (прямого кругового) и практически не использующего координатный метод. Этот способ предложен в 1822 г. бельгийским инженером Ж. П. Данделеном. Рассмотрим его для эллипса. Пусть плоскость σ пересекает одну из полостей конуса по некоторой кривой. Рассмотрим какую-либо точку M на кривой. Впишем в коническую поверхность два шара V1 и V2 так, чтобы они касались плоскости с разных сторон в точках F1 и F2 соответственно.

Рис. 8. Теорема Данделена для эллипса

Поскольку шары вписаны в коническую поверхность, они касаются ее по некоторым окружностям k1 и k2, лежащим в параллельных плоскостях π1 и π2, перпендикулярных оси конуса. Отметим на образующей конуса, проходящей через точку M, точки пересечения P1 и P2 с окружностями k1 и k2. Нетрудно видеть, что MF1 = MP1, поскольку это – касательные, проведенные из одной и то же точки к одной и той же сфере. Аналогично, MF2 = MP2. Следовательно, MF1 + MF2 =  MP1 + MP2 = P1P2, что не зависит от точки M: это отрезок образующей конуса, ограниченной параллельными плоскостями. Таким образом, кривая в сечении такова, что сумма расстояний от ее точки до двух фиксированных точек (F1 и F2) есть величина постоянная, а это и есть фокальное свойство.

Рис. 9. Фокальное свойство эллипса

Совершенно аналогично оно доказывается для гиперболы, но здесь, естественно, шары лежат в разных полостях конической поверхности.

Рис. 10. Теорема Данделена для гиперболы, фокальное свойство

Обратимся теперь к доказательству директориального свойства. Сохраним прежние обозначения.

Рис. 11. Директориальные свойства эллипса и гиперболы

Пусть плоскость σ пересекается с плоскостью π1 по прямой d1. Опустим из M перпендикуляр MD на эту прямую и перпендикуляр ME на плоскость π1. Если θ – угол между плоскостями σ и π1, а φ – угол между образующей конуса и плоскостью π1, то ME = MD sin θ = MP1sin φ. Т. к. (см. выше) MF1 = MP1, отношение MF1/MD = MP1/MD = sin θ / sin φ не зависит от M. В случае эллипса θ < φ и указанное отношение меньше единицы. В случае параболы θ = φ и отношение равно единице. В случае гиперболы θ > φ и отношение больше единицы.