Задача по физике N1051

На длинной нити, перекинутой через блок, висят грузы массами

. На высоте

над более легким грузом держат шайбу из пластилина массой

(смотри рисунок). Известно, что

. В некоторый момент грузы

приходят в движение без начальной скорости. Когда груз

доходит до шайбы, ее отпускают без начальной скорости, и пластилиновая шайба прилипает к грузу

. На какую максимальную высоту

над начальным положением поднимется шайба? Трение и масса блока пренебрежимо малы. Нить невесомая и нерастяжимая, а ее участки, не лежащие на блоке, вертикальны.

Скрыть решение

Решение

Рассмотрим движение грузов до момента их столкновения с шайбой из пластилина. Пусть — сила натяжения нити, — направленное вниз ускорение груза . В силу нерастяжимости нити это ускорение равно по величине и противоположно по направлению ускорению груза . Запишем уравнения движения для грузов и в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$\begin{displaymath}m_{2}a_{0} = m_{2} \textsl{g}- T \qquad -m_{1}a_{0} = m_{1} \textsl{g}- T.\end{displaymath}$

Вычитая эти уравнения друг из друга, получаем: .

Аналогичным образом можно найти, что после прилипания пластилина к грузу его ускорение направлено вниз и равно . Этот результат можно получить и без записи уравнений движения: достаточно в найденном выше выражении для заменить массу на суммарную массу и учесть, что после прилипания пластилина ускорение груза будет положительным (так как .

Пусть скорость грузов относительно земли до соударения с шайбой из пластилина была равна по величине . Так как нить нерастяжимая и блок невесомый, то при неупругом столкновении груза с пластилином возникнет кратковременное увеличение силы натяжения нити — рывок, после которого скорости всех трех тел станут одинаковыми по модулю и равными некоторой величине . Грузы и , жестко связанные нерастяжимой нитью, при столкновении с неподвижной пластилиновой шайбой ведут себя, как одно тело с массой , движущееся со скоростью . При этом проекция импульса системы на направление движения нити, очевидно, сохраняется: . Следовательно, после прилипания пластилина к грузу массой получившееся тело массой будет двигаться вверх с начальной скоростью и постоянным ускорением, направленным вниз, то есть равнозамедленно.

Скорости и связаны с расстояниями и следующими кинематическими соотношениями:

$\begin{displaymath} v_{0} = \sqrt {2a_{0} h_{0}} = \sqrt {2\textsl{g}h_{0}} \sq... ... + m_{1}}}{\displaystyle\frac{m_{2} - m_{1}}{m_{2} + m_{1}}} },\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}v = \sqrt {2ah} = \sqrt {2\textsl{g}h} \sqrt {\mathchoice{\di... ...aystyle\frac{m_{1} + m_{3} - m_{2}}{m_{1} + m_{3} + m_{2}}} }.\end{displaymath}$

Учитывая записанное выше уравнение, связывающее скорости и , получаем:

$\begin{displaymath} (m_{1} + m_{2})\sqrt {2\textsl{g}h_{0}} \sqrt {\mathchoice{... ...laystyle\frac{m_{1} + m_{3} - m_{2}}{m_{1} + m_{3} + m_{2}}} },\end{displaymath}$

откуда .

Ответ

Шайба поднимется на максимальную высоту .