Урок 28. Склеивание цепочки цепочек

План урока

      1. Работа с листом определений «Склеивание цепочки цепочек».
      2. Решение обязательных бумажных задач 83, 84, 87, 88.
      3. Решение необязательной бумажной задачи 89.
      4. Проект «Дневник наблюдения за погодой», 3 часть (подведение итогов за октябрь).

Работа с листом определений «Склеивание цепочки цепочек»

Операции и их аргументы
В математике и в жизни мы часто говорим об операциях; всякая операция к чему-то применяется и дает какой-то результат. Со многими операциями вы хорошо знакомы – это, например, сложение, умножение и другие арифметические операции. Результат операции в общем виде так и называется – результат, в частном случае – сумма, произведение, частное и т. п. То, к чему операция применяется, может называться по-разному – операнды, аргументы, исходные данные; в частных случаях – слагаемые, сомножители и т. д. В школе чаще всего говорят об аргументах. «Исходные данные» тоже неплохое название; в информатике часто употребляют название «операнды». Условимся называть исходные данные аргументами. Чаще всего мы встречались с операциями, у которых два аргумента (например, сложение). В то же время операция смены знака имеет один аргумент. Один аргумент и у операции «взятие обратного» (минус первой степени), и у операции «абсолютная величина» (модуль), и у операции «синус». Нетрудно придумать операцию, у которой три аргумента. Можно ли представить себе операцию с переменным числом аргументов? Оказывается, да, и несложно. Это, например, операция сложения произвольного количества чисел. Операции с переменным числом аргументов можно представлять себе и как операцию с одним аргументом. Например, мы можем представить, что операция сложения применяется к одному мешку чисел или к одной цепочке чисел. Этот способ известен в математике довольно давно. Математики даже придумали знак Σ (греческая прописная буква «сигма») и знак Π (греческая прописная буква «пи») для обозначения операций взятия суммы и произведения любого числа слагаемых/сомножителей (т. е. по-нашему – мешка). Этот подход нашел широкое применение и в некоторых языках программирования. В курсе он тоже применяется в разных ситуациях, в случае склеивания цепочек используется именно этот подход: фактически мы склеиваем несколько цепочек, но применяем операцию к одному аргументу – одной цепочке цепочек.

Склеивание цепочки цепочек
Разбиение цепочки на части и соединение частей – операции очень естественные. В курсе русского языка и других языков этим занимается морфология (как часть грамматики). Бывает морфология и других объектов, не языковых, а, например, растений и животных. Продолжая список аналогий, можно сказать, что склеивание цепочки цепочек больше всего напоминает стыковку нескольких поездов (цепочки поездов) в один состав. При этом сохраняются как последовательность вагонов в каждом поезде, так и порядок следования поездов. Если посмотреть на склеивание цепочки цепочек с точки зрения количества бусин, то из арифметических действий эта операция больше всего напоминает сложение. Действительно, если мы склеиваем две цепочки длиной в три и пять бусин соответственно, то получаем цепочку из восьми бусин. Наряду с этим обнаруживаются и различия между данными операциями. Сложение обладает переместительным свойством, а при склеивании сохраняется порядок следования бусин-цепочек. Сложение чисел больше напоминает ссыпание объектов из нескольких мешков в один, поскольку здесь идея порядка практически никак не представлена. Уместнее сравнить склеивание цепочки цепочек со сложением нескольких многочленов. Рассмотрим следующий пример:

(а + в + c) + (k + d) + (t + f + l + y) = а + в + c + k + d + t + f + l + y

В самом деле, это очень похоже на операцию склеивания (конечно, если добавить сюда идею порядка). При склеивании оболочки играют роль скобок, которые в результате выполнения операции просто убираются. При выполнении операции сложения многочленов безразлично, стоит ли каждый из них в отдельных скобках. Наши действия не изменятся, если мы будем работать, например, с таким примером:

(а + в + c) + k + d + (t + f + l + y) = а + в + c + k + d + t + f + l + y

А при склеивании мы рассматриваем только такие цепочки, каждая бусина которых находится в своей отдельной оболочке. Если это цепочка цепочек цепочек и мы производим двойное (тройное и т. д.) склеивание, то всегда выполняется условие – для каждой конкретной бусины (в том числе и для пустой цепочки) общее число оболочек, «надетых» на нее, всегда одинаково. Если переводить на язык сложения многочленов, то операция двойного склеивания может выглядеть так:

      ((а + в + c) + (k + d)) +((t + f) + (l + y)) = ( а + в + c) + (k + d )+ (t + f) + (l + y) = а + в + c + k + d + t + f + l + y

При многократном склеивании соблюдается строгая очередность раскрытия оболочек от внешних к внутренним, т. е. при первом склеивании убираются только внешние оболочки цепочек, которые для исходной цепочки цепочек являются бусинами.
При склеивании от пустых цепочек ничего не остается (так и написано на листе определений). Таким образом, список общих черт операций сложения и склеивания можно продолжить. У операций сложения и умножения есть так называемые нейтральные элементы: при прибавлении нуля и умножении на 1 число не меняется. Логично считать пустую цепочку аналогом нуля в сложении, так как в ней нет ни одной бусины. Значит, пустая цепочка – нейтральный элемент относительно операции склеивания.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 83. Задача на закрепление темы нового листа определений. По окончании решения можно поговорить о том, на какие процессы из жизни похоже склеивание цепочки цепочек вообще и склеивание с пустыми цепочками в частности. Например, ребенок проводит выходной: утром помогает маме, днем делает уроки, вечером гуляет. Каждая из перечисленных частей, с одной стороны, выглядит обособленно, а с другой – сама представляет собой цепочку различных действий. На следующий день цепочка этих цепочек склеивается и начинает восприниматься как последовательность различных действий. Если ребенок днем не делал ничего, то этот промежуток времени просто исчезает; так же дело обстоит и с пустыми цепочками. Цепочка Щ моделирует ситуацию «пустой день», когда ребенок утром ничего не делал, днем ничего не делал и вечером тоже ничего не делал. Такие дни часто вообще выпадают из памяти, как будто их не было вовсе.  
Ответ:

Задача 84.  Здесь ребята впервые сами будут склеивать цепочку цепочек цепочек. При затруднении учащийся может прибегнуть к помощи листа определений. Если подходить к процессу формально, можно объяснить ребятам, что при первом склеивании пропадает только один слой оболочек и это всегда внешний слой. В данном случае после первого склеивания цепочка цепочек цепочек превращается в цепочку цепочек. После второго склеивания получается цепочка бусин.
Ответ:

Задача 87. Ребятам предстоит впервые выполнить операцию, обратную склеиванию (условно можно назвать ее «разрезание»). Здесь недостаточно формального использования листа определений, необходимо еще уметь идти с конца, от результата. Чтобы нарисовать цепочку J, учащийся должен четко понимать, о чем говорится в условии, и обязательно разбираться в значках. Если вы видите, что ребенок не знает, с чего начать, стоит спросить его, что означает данный значок (склеивания) и что вообще необходимо сделать в задаче. Как только ученик поймет, что нужно нарисовать цепочку цепочек, причем такую, чтобы при ее склеивании получалась цепочка U,  дальнейшая помощь ему не потребуется.

Задача 88. Задача дает возможность детям почувствовать себя в роли сочинителей задач типа 83. Кроме того, задача напоминает о том, что склеивание разных цепочек может приводить к одному результату. С подобной ситуацией ребята сталкиваются и на других уроках. Например, одно число можно представить в виде нескольких различных сумм. Если при решении предыдущей задачи вы не обсуждали вопрос о том, почему столько разных правильных ответов, то здесь стоит обратить на это внимание. При выполнении операции склеивания цепочки цепочек у всех получался один ответ, а здесь ситуация совершенно иная. Интересно послушать, как объясняют это учащиеся.
Тем, кто справился с решением этой задачи быстро, можно предложить нарисовать цепочку-решение заданной длины (например, длины 7 или 12) или выяснить, является ли решением нарисованная вами цепочка.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 89. Самый прямой способ решения задачи – рассмотреть сначала первое утверждение и найти место для одной буквы К. Затем, пользуясь вторым утверждением, поместить букву О (перед К) и найти место для второй пары О-К. В оставшееся после этого пустое окно необходимо вставить букву О.
Ответ: ОКОРОК.

Проект «Дневник наблюдения за погодой», 3 часть (подведение итогов за октябрь)

Урок 29. Склеивание цепочки цепочек

План урока

      1. Решение компьютерных задач 370–374.
      1. Решение обязательных бумажных задач 85, 86, 90, 91.
      2. Решение необязательных бумажных задач 92, 94.

Решение компьютерных задач

Задача 370. Задача на закрепление нового листа определений, аналогичная бумажной задаче 83. Здесь также встречается склеивание с пустой цепочкой. При построении искомой цепочки ребята используют уже знакомый им компьютерный инструмент – конструктор цепочек.

Задача 371. Задача на повторение цепочки дней недели. Аналогичные задачи ребятам уже встречались (см. комментарии к бумажным задачам 18, 32 и компьютерной задаче 306), поэтому постарайтесь не давать никаких комментариев и не оказывать помощи даже слабым ученикам.

Задача 372. Задача на повторение листа определений «Перед каждой бусиной. После каждой бусины» среднего уровня сложности. В данном случае усложняет решение то, что два условия описания не удается использовать отдельно друг от друга. У нас есть 3 треугольные бусины, значит, в цепочке будет три кусочка вида «фиолетовая - … - треугольная». Однако если строить эти кусочки произвольно, может оказаться невозможным соблюсти второе условие описания. Поэтому если рассматривать условия изолированно, то цепочку придется перестраивать несколько раз. К счастью электронная «лапка» позволяет без труда проводить пробы до тех пор, пока оба условия не окажутся выполненными.

Задача 373. Еще одна задача на склеивание цепочки цепочек. Как видите, данная цепочка довольно длинная, да и пустых цепочек в ней много. Однако, мы надеемся, что это чисто количественное изменение никого из ребят не испугает. Поэтому советуем вам помогать в случае затруднения только самым слабым. Остальных же достаточно отсылать к текущему листу определений или указывать им на наличие ошибки в решении.

Задача 374. Необязательная. По сравнению с задачами такого типа, которые ребята уже решали, здесь ситуация более сложная, поскольку вариантов программы существенно меньше и поле ограничивает действия Робота довольно жестко. Во-первых, довольно быстро становится ясно, что первая команда Робота должна быть «влево». Во-вторых, чтобы попасть в верхний ряд Роботу необходимо выполнить 5 команд «вверх». Также после нескольких проб и ошибок выясняется, что Роботу нужно в процессе выполнения программы сдвинуться по горизонтали (не считая первой команды) либо вправо, либо влево. Таким образом мы делаем вывод – чтобы попасть в клетку верхнего ряда Роботу необходимо выполнить хотя бы 7 команд. У нас команд 8. Это говорит о том, что Робот у нас не может возвращаться, например, проходить по одной клетке дважды или выполнять команду «вниз», ведь для таких маневров понадобится как минимум две дополнительные команды, а у нас их уже нет. Пытаясь заставить Робота попасть в различные клетки верхнего ряда, мы понимаем, что существует лишь одна возможная клетка, в которой закончится программа Робота – вторая клетка верхнего ряда. В нее приводят всего две программы.
Ответ: ВЛЕВО           ВЛЕВО
             ВВЕРХ            ВВЕРХ
             ВВЕРХ            ВВЕРХ
             ВВЕРХ            ВЛЕВО
             ВЛЕВО            ВВЕРХ
             ВВЕРХ             ВВЕРХ
             ВВЕРХ             ВВЕРХ
             ВЛЕВО             ВЛЕВО

Решение обязательных бумажных задач  

Задача 85. Задача на склеивание цепочки цепочек цепочек, аналогичная задаче 84. Однако, в этой задаче ошибки более вероятны. Действительно, усвоив, что пустая цепочка при склеивании пропадает, учащийся может убрать вторую бусину цепочки Р сразу при первом же склеивании. Вторая бусина цепочки Р не является пустой цепочкой. Нам уже приходилось встречаться с такой цепочкой в бумажной задаче 29. В комментарии к задаче 29 мы обсуждали, как разубедить заблуждающихся ребят и какие примеры можно им привести. Ребята должны понять, что при первом склеивании пропадают только внешние оболочки цепочек. Склеенная цепочка Р состоит из трех бусин, одна из которых пустая, а при следующем склеивании бусин будет уже две.

Ответ:


Задача 86. Напомните ребятам о том, что в начальной позиции Робота могут уже содержаться закрашенные клетки (например, Робот закрасил их раньше, выполняя на этом же поле другую программу). Программа Ф довольно большая, но результат ее предсказуем – Робот закрашивает на поле все белые клетки.

Ответ:


Задача 90. Задача начинает цикл задач с использованием сочетаний кванторов: понятий «каждый» и «есть». С каждым из этих понятий в отдельности дети уже поработали. Теперь акцент сделан на различных сочетаниях кванторов.
При решении задачи ребята могут столкнуться с двумя трудностями. Во-первых, в задании фигурируют два вида мешков: мешки мешков («внешние» мешки) и мешки бусин («внутренние» мешки), которые названы одним и тем же словом – мешок; кто-то может запутаться, где какой мешок имеется в виду. Можно прямо в условии сделать пометки – «внешний» и «внутренний» или «большой» и «маленький». Тогда, например, вторая фраза условия приобретает вид: «Отметь галочкой один мешок мешков (большой), в каждом мешке (маленьком) которого есть две одинаковые бусины».

Во-вторых, сложной может оказаться логическая структура высказывания, поскольку содержит два квантора: для каждого и есть. Если кому-то трудно сразу понять структуру текста задания, порассуждайте вместе. Нужно разобраться со всеми мешками: где есть две одинаковые бусины, а где их нет. Можно те мешки, где есть пара одинаковых бусин, как-то пометить (надо проследить, чтобы пометки отличались от галочек, которые нужно поставить в соответствии с заданием). Чтобы довести рассуждения до конца, спросите: «В большом мешке сколько должно быть мешков с двумя одинаковыми бусинами?» Читая условие, ребята обязательно обратят внимание на слово «каждый». Это означает, что каждый из трех (или четырех) внутренних мешков должен содержать две одинаковые бусины. Теперь посмотрим, в каком «большом» мешке все «маленькие» мешки оказались помечены. Искомый мешок – второй слева.

Задача 91. Задачу можно использовать для текущего контроля. В процессе выполнения задания выделяется период в периодической цепочке. Похожие ситуации встретятся при рассмотрении циклических программ и конструкции повторения у Робота.

Ответ:

Решение необязательных бумажных задач

Задача 92. В задаче оказывается возможным решить вопрос сначала о цвете пропущенных бусин, а затем об их форме. Из первого утверждения следует, что пятая бусина синяя, из второго – что вторая бусина зеленая, из третьего – что шестая бусина красная. Не определился только цвет третьей бусины. Он может быть любым, в том числе и синим. Теперь начинаем разбираться с формой бусин. Самое простое решение одновременно и самое естественное – раскрасить окна в найденные цвета, т. е. сделать все бусины квадратными. Поскольку ни в одном утверждении про квадратные бусины не говорится, то на истинность утверждений квадратные бусины не повлияют. Таким образом, мы получили цепочку Г (на самом деле с учетом возможных цветов третьей бусины мы получили шесть разных вариантов цепочки Г). Возможно, кто-то захочет определить форму недостающих бусин «по-честному», т. е. провести полные рассуждения. В этом случае важно проследить выполнение условия, если какие-то бусины в окнах окажутся круглыми, треугольными или синими.

Задача 94. Задача на повторение темы «Одинаковые мешки», предназначенная практически для всех. Если кто-то из ребят в ней все-таки запутался, посоветуйте ему соединять одинаковые бусины разных мешков в пары. Сначала, конечно, стоит найти пары, которые имеются изначально. Для этого придется сравнивать многоугольники и звезды, считая число сторон или лучей. Оказывается, таких пар у нас три. Теперь для каждой раскрашенной фигурки первого мешка найдем нераскрашеную фигурку той же формы и раскрасим ее в такой же цвет. Затем сделаем то же для фигурок второго мешка. После этого у нас осталось по две нераскрашенные фигурки в каждом мешке. Из них можно получить две пары одинаковых, если раскрасить их попарно в одинаковые цвета.

Урок 30. Склеивание цепочки цепочек

План урока

      1. Решение компьютерных задач 375–379.
      1. Решение обязательных бумажных задач 93, 95, 97, 100.
      2. Решение необязательных бумажных задач 96, 98.

Решение компьютерных задач

Задача 375. Задача на склеивание цепочки цепочек, аналогичная компьютерной задаче 373. Сильные ученики и все, кто в настоящий момент решает подобные задачи легко, могут ее просто пропустить.

Задача 376. Задача на повторение темы «Одинаковые мешки. Разные мешки» с кошельками монет. Аналогичная задача в курсе 3 класса уже встречалась (см. комментарии к компьютерной задаче 307). Однако она была необязательной, а здесь такая задача предлагается всем ребятам. При работе со слабыми учащимися используйте советы, содержащиеся в комментариях к задаче 307.

Задача 377. Это первая компьютерная задача на «разрезание» цепочки, то есть выполнение операции обратной склеиванию. Аналогичные бумажные задачи ребята уже решали (см. комментарии к задачам 87 и 93) . Все эти задачи из разряда простых, ведь на искомую цепочку цепочек не накладывается никаких дополнительных условий (кроме того, что при ее склеивании получается данная цепочка). Поэтому вообще-то ответов здесь существует очень много, в том числе и с различными комбинациями из пустых цепочек. Однако, большинство детей заметит, что данная цепочка – не просто набор букв, а в ней можно выделить отдельные русские слова, то есть данное слово выглядит как осмысленное русское предложение, склеенное в одно слово. Поэтому они постараются «разлепить» слова и получить именно это предложение. Таким образом, большинство решений скорей всего будут выглядеть так «БЫВАЮТ В ЖИЗНИ ЧУДЕСА УЖА УЖАЛИЛА ОСА». Если кто-то из детей построит формальное решение, не надо его склонять к этому варианту, это было бы неправильно с точки зрения правил нашей игры, ведь решение соответствует условию задачи, а больше мы ничего от ребенка требовать не можем.

Задача 378. Задача на употребление конструкции «после каждой» для бусин дерева. Как и в подобных задачах для бусин цепочки, здесь так или иначе ребенок должен осуществить полный перебор бусин, о которых идет речь. Например, рассмотрим первое утверждение. Чтобы оно было истинным, ребенок должен перебрать все треугольные бусины дерева и раскрасить все следующие бусины после каждой из них синим. Лучше по ходу дела помечать все уже рассмотренные бусины галочкой, чтобы в конце можно было проверить, что перебор действительно является полным. После того как мы обеспечили истинность обоих утверждений у нас остались нераскрашенными только три корневые бусины. Их можно раскрасить в любые цвета, в том числе, желтый и синий.

Задача 379. Необязательная. Задача на повторение сравнения фигурок с помощью наложения. Она не является сложной и может быть предложена любому ребенку, в зависимости от того, есть ли необходимость в повторении данного вопроса.

Решение обязательных бумажных задач 

Задача 93. Задача аналогична бумажной задаче 88, поэтому вы можете предложить ее для самостоятельного решения и использовать для текущего контроля усвоения данной темы.

Задача 95. Задача очень похожа на компьютерную задачу 377, но немного сложней, ведь одно осмысленное слово в цепочке все же необходимо выделить – слово «ЁЖ». Дальше у детей имеется полная свобода действий. Тем не менее, одни дети разобьют цепочку на отдельные осмысленные слова. Другие разделят как попало. И тех и других следует похвалить. Одних – за то, что догадались, «что здесь написано», других – за математичность и формальность подхода.

Задача 97. Задача отличается от подобных задач на разрезание цепочки наличием дополнительного условия – одна из бусин будущей цепочки уже задана. Нужно начать с того, чтобы найти в склеенной цепочке Ц часть, совпадающую с цепочкой Ч. Кусок, совпадающий с Ч, определяется однозначно, что сразу дает первую и третью бусины цепочки. Поэтому данная задача имеет единственный ответ.

Задача 100. Если в задаче 60 пришлось решать задачу на сопоставление инструкции с множеством ее предполагаемых результатов, то здесь имеем обратную задачу: надо сопоставить результат с возможными вариантами инструкции и выбрать подходящий.

Возможно, ребята будут выполнять инструкцию до конца с каждым пунктом, приведенным на листе вырезания. Не отговаривайте таких, но дайте совет: можно подписывать цвета простым карандашом на бусинах первой цепочки и затем стирать. Так они затратят меньше времени и будет меньше грязи в тетради.
Ответ: «Раскрась предыдущую бусину перед каждой красной синим».

Решение необязательных бумажных задач

Задача 96. Положение Робота до выполнения программы не задано. Начальным положением для Робота может служить любая из закрашенных клеток, и в зависимости от выбора клетки возможные варианты программы Е могут быть самыми разными, в том числе и по длине. Естественно, чем больше Робот возвращается, т. е. чем больше клеток он посещает дважды, тем длиннее программа. При этом правильным ответом считается любая программа, в результате выполнения которой Робот закрашивает на поле данный узор. Ученики будут стремиться к простоте программы интуитивно, из соображений здравого смысла. Большинство ребят «запустят» Робота из конца верхней или нижней палочки буквы Е.

Задача 98. Задача состоит из двух частей: в первой части необходимо выполнить операцию склеивания цепочки цепочек, а во второй – обратную операцию (разрезание). Обе операции ребятам знакомы, поэтому помощь, скорее всего, не потребуется. Многие ученики выполнят оба действия формально: для того чтобы склеить цепочку, стирают внешние оболочки, а чтобы выполнить обратную операцию – дорисовывают их. Это допустимо, но интересно и другое: понимают ли ученики различие между цепочками Ш и М? Чтобы это узнать, попросите описать цепочку Ш, объяснить, что является ее бусинами. Важно, чтобы в процессе разговора прозвучало, что Ш – цепочка, состоящая из одной бусины – цепочки М, а М – цепочка, состоящая из двенадцати бусин.