Уроки 58–60. Проект «Стратегия победы»

1-й этап. Работа с листом определений (с. 14 тетради проектов)

Цель данного проекта – обучение поиску выигрышной стратегии с помощью дерева игры на примере игры Ползунок на поле 3×3. Из учебника ребятам известен следующий алгоритм поиска выигрышной стратегии:

  1. Раскрасить все позиции игры красным или синим (как выигрышные или проигрышные), начиная с заключительной и вплоть до корневой.
  2. Выяснить, у кого в данной игре есть выигрышная стратегия: если корневая позиция красная, то у Первого, если синяя, то у Второго.
  3. Сформулировать выигрышную стратегию либо в виде общего правила (игрок должен делать на каждом ходу так, чтобы...), либо в виде описания последовательности ходов в зависимости от ходов противника.

Иногда все возможные позиции можно располагать на числовой линейке, как в игре Камешки, иногда на круглой числовой линейке, как в игре Стрелки, иногда на шахматном поле (игры на шахматной доске).

Позиции для игры Ползунок удобнее всего анализировать по дереву игры.

Итак, нам нужно построить дерево игры Ползунок. Это дерево очень большое. Чтобы обойти эту трудность, но справиться с поставленной задачей, на листе определений ребята знакомятся с понятием одинаковые позиции для этой игры. Действительно, с точки зрения продолжения игры такие позиции не различаются, а значит, все одинаковые позиции либо одинаково выигрышные, либо проигрышные.

Для демонстрации того, что две позиции одинаковые, полезно иметь заготовки прозрачных полей для Ползунка 3×3 (лучше пластмассовых или полиэтиленовых), на которых можно нарисовать две данные позиции и совместить их с помощью наложения.

После того как ребята поработают с листом определений, устройте общее обсуждение, в ходе которого станет ясно, усвоили ли дети понятие одинаковые позиции. Для этого достаточно нарисовать на доске несколько пар позиций и спросить, являются ли они одинаковыми.

Теперь при построении дерева игры Ползунок мы можем из всех веток, выходящих из одинаковых позиций, прорисовывать лишь одну.

2-й этап. Изучение начального фрагмента дерева игры для первых пяти уровней (с. 15–17 тетради проектов)

На этом этапе происходит общее обсуждение, в ходе которого все ребята должны разобраться, каким образом построены первые пять уровней дерева. Можно начать строить первые два уровня дерева и без опоры на рисунок (с. 15). Для этого надо нарисовать корневую позицию на доске и попросить ребят нарисовать все возможные позиции, которые могут получиться после первого хода Первого. Мешок позиций составляется всем классом, каждый учащийся, который считает, что на доске не все позиции, может выйти и предложить дополнительные позиции. После того как фантазия ребят иссякнет, нужно вместе проверить, все ли позиции нарисованы на доске (их должно быть 12). Затем необходимо спросить ребят, какие позиции одинаковые. В случае затруднений можно рисовать позиции на прозрачных заготовках и пытаться совмещать их наложением. В результате этой работы появляется два мешка одинаковых позиций. Далее мы договариваемся, что рисовать продолжение будем только для одной позиции из каждого мешка одинаковых позиций, а все такие же позиции на дереве нужно просто пометить. Если вы чувствуете, что такая работа пошла очень тяжело, попросите ребят открыть с. 15 и просто рассмотреть первые три уровня.

Можно аналогично поработать и с позициями третьего уровня – для двух различных позиций второго уровня (2a и 2i) нарисовать все возможные следующие, затем среди всех получившихся позиций третьего уровня найти одинаковые. Завершая эту работу, ребята должны обратиться к с. 15 и проверить, совпадают ли первые три уровня дерева, построенные в ходе общего обсуждения, с началом дерева в тетради проектов. Здесь же необходимо ответить на все возникшие по ходу работы вопросы.

Далее ребята работают с позициями четвертого и пятого уровней. В зависимости от вашего желания и подготовленности класса можно организовать эту работу по-разному. Первый вариант (фронтальный) – поработать с позициями четвертого и пятого уровней так же, как мы предлагали вам поработать с позициями первых трех уровней, т. е. совместно, силами всего класса. Второй вариант (индивидуальный) – попросить детей разобрать фрагменты дерева по готовому рисунку. При этом сильным детям можно предложить сначала попытаться построить мешок всех позиций соответствующего уровня самостоятельно. Третий вариант (групповой) – разбить детей на 5 групп, выдать каждой группе позицию третьего уровня и попросить построить мешок всех следующих за ней позиций (четвертого уровня). Затем всю полученную информацию следует собрать на доске и выделить среди позиций четвертого уровня одинаковые. Различные позиции четвертого уровня опять раздаются по группам (их снова будет 5), и для каждой из них группа ищет мешок всех следующих позиций. Вся работа завершается выделением на пятом уровне всех различных позиций (их можно нарисовать на доске). В любом случае обсуждение того, почему какие-то позиции одинаковые, следует проводить всем классом.

3-й этап. Групповая работа по построению и анализу ветки дерева игры в Ползунок на поле 3×3 (решение задач 9–15 тетради проектов)

Дети в классе делятся на 7 групп по числу задач. Каждая группа решает одну из задач 9–15.

Обратите внимание детей, что теперь не нужно искать одинаковые позиции, а нужно строить все позиции, следующие за каждой (за исключением задач 9 и 11, где одинаковые позиции уже помечены на дереве).

Раскрашивать позиции ребята, как обычно, должны, начиная с листьев (все листья – проигрышные позиции, которые обводятся синим), все позиции, предыдущие перед листьями, обводятся красным. Далее ребята двигаются к корневой позиции, используя известное им правило:

•если хотя бы одна позиция, следующая за данной, – проигрышная, то данная позиция выигрышная;
•если все позиции, следующие за данной, выигрышные, то данная позиция проигрышная.

Работу в группах ребята организуют по своему усмотрению.

При делении учащихся на группы на данном этапе проекта необходимо учесть, что некоторые ветки побольше (подлиннее или пошире), а некоторые поменьше. Одной из групп достанется не одна, а две корневые позиции, поскольку ветки, выходящие из них, совсем простые (задача 13). Другой группе достанутся тоже две ветки, но одна из них уже построена – нужно только обвести выигрышные и проигрышные позиции (задача 15).

После того как каждая группа решит свою задачу, необходимо организовать проверку, поскольку от результата работы каждой группы будет зависеть успешность работы всего класса. Самое простое – учителю просмотреть цвет корневой бусины каждой группы и в случае ошибки обсудить ее с ребятами. Другой вариант – предложить группам обменяться задачами для проверки. Такой вариант потребует дополнительного времени на уроке, поэтому можно предложить подобное задание на дом.

На следующих рисунках приводятся построенные ветки из задач 9–15.


4-й этап. Общее обсуждение – обмен результатами работы групп

Возвращаемся к начальному фрагменту дерева, а точнее, к позициям пятого уровня, изображенным на с. 16. Цель данного этапа – пометить все позиции пятого уровня как выигрышные или проигрышные в процессе обмена результатами работы групп. Организовать этот процесс можно, например, так. Поочередно от каждой группы к доске выходит один представитель, рисует корневую позицию своей ветки (или веток) и объявляет, какой позицией (выигрышной или проигрышной) она является, обводя ее соответствующим цветом. Вслед за ним каждый учащийся находит эту позицию в тетради на с. 16 и обводит ее тем же цветом.

5-й этап. Индивидуальная работа по разметке позиций первых пяти уровней

Ребята переходят к разметке выигрышных и проигрышных позиций начального фрагмента дерева (первых пяти уровней). Поскольку, помечая позиции как выигрышные или проигрышные, мы двигаемся от последнего уровня к корневой позиции, следует начать со с. 16. Сначала ребята находят еще не обведенные позиции пятого уровня (5d, 5g, 5j, 5m) и обводят их тем же цветом, которым помечены такие же позиции (соответственно 5b, 5e, 5f, 5h). Теперь можно перейти к позициям 4-го уровня и пометить там все позиции, из которых прорисованы следующие (4a, 4c, 4d, 4e, 4f). При этом ребята используют приведенное выше правило определения выигрышных и проигрышных позиций. Интересно, что все помеченные позиции 4-го уровня оказались выигрышными, значит, и все оставшиеся позиции 4-го уровня также следует обвести красным.

Итак, все позиции 4-го уровня оказались выигрышными. По нашему правилу все позиции предыдущего уровня будут проигрышными. Теперь переходим на с. 15. Помечаем все позиции третьего уровня как проигрышные, значит, все позиции второго уровня – выигрышные, а начальная позиция – проигрышная. Как видите, ситуация здесь на всех уровнях, кроме 4-го является совсем простой, поэтому мы и предлагаем это задание для самостоятельной работы.


Подведение итогов

После того как дерево игры в Ползунок на поле 3×3 оказывается полностью помеченным, устройте обсуждение результатов проекта. В ходе обсуждения обязательно должно прозвучать, кто обладает в этой игре выигрышной стратегией и почему. В данном случае стратегией победы обладает Второй, так как корневая позиция – проигрышная.

Хорошо, если удастся обсудить, в чем именно заключается эта стратегия, как Второй должен использовать ее в игре. Опыт, полученный ребятами в ходе решения задач из учебника, позволяет им сделать следующий вывод: Второй должен всегда приводить игру только к проигрышным позициям (обведенным синим). Однако, просматривая дерево, можно заметить, что все позиции третьего уровня являются проигрышными, поэтому первый ход Второго может быть абсолютно любым, и лишь со второго своего хода (позиции 5-го уровня) он должен начать думать. Так, если Первый на предыдущем ходу привел игру к позиции 4d, то Второй должен сделать ход в позицию 5h, а если Первый сделал ход в 4е, то Второй должен привести игру к позиции 5к. Так, для каждой позиции 4-го уровня найдется следующая проигрышная позиция, т. е. Второй может всегда выбрать свой второй ход (с. 16 и 17 тетради). Следующий свой ход Второй может найти в одной из задач 9–15.

В качестве завершения данного проекта ребята могут разбиться на пары и поиграть в Ползунок на поле 3×3, используя помеченное дерево игры. При этом, меняясь местами (играя то за Второго, то за Первого), все ребята должны убедиться в том, что Второй сможет выиграть всегда, при любой игре Первого.

Дополнительные исследования

Работу по обобщению результатов можно дополнить и углубить. Итак, используя построенное дерево игры, мы можем сформулировать выигрышную стратегию для Второго пошагово, т. е. для каждого хода Первого указать на дереве ход Второго. Второй сможет следовать стратегии такого рода лишь в том случае, если у него перед глазами есть дерево игры, а это, как вы понимаете, не всегда удобно. Хотелось бы иметь достаточно просто сформулированное общее правило, которое можно будет удержать в голове (в отличие от дерева игры). Тогда Второй сможет просто играть и выигрывать, никуда не заглядывая. В этом нам снова поможет дерево игры, но здесь потребуется уже его более глубокий, неформальный анализ.

Анализируя дерево игры, мы не делали ничего нового по сравнению с задачами учебника. Выигрышные и проигрышные позиции ребятам приходилось раскрашивать в дереве и раньше, выбирая выигрышный ход или серию ходов. Для формулирования более простого правила выигрыша придется взглянуть на построенное дерево с другой стороны. Попросите каждую группу еще раз проанализировать свою ветку (из задач 9–15 тетради проектов) и ответить на вопрос: «Может ли Второй из данной корневой позиции вообще проиграть?». Действительно, из некоторых позиций любая партия заканчивается выигрышем Второго. В результате работы групп выяснится, что таких позиций три: 5c, 5h и 5k.

Таким образом, если Второй сможет в результате двух своих первых ходов создать на поле одну из этих позиций, то дальше он выиграет в любом случае и никакая стратегия выигрыша ему дальше уже не нужна. Поэтому наша задача сводится к указанию первых двух ходов Второго в зависимости от первых двух ходов Первого. При этом вариантов должно получится не так уж много, поскольку на втором уровне всего две разные позиции, а на третьем уровне Второй выбирает свою позицию сам и не обязан рассматривать все варианты ходов.

Следующий вопрос для группового обсуждения: «Может ли Второй в результате своих двух первых ходов при любой игре Первого создать на поле одну из позиций: 5c, 5h или 5k (из которых он впоследствии выигрывает всегда)?» Выполняя это задание, ребята анализируют первые пять уровней дерева (с. 15–17 тетради проектов). Прежде чем ребята начнут заниматься самостоятельными исследованиями, необходимо обратить их внимание на то, что Второй может выбирать только свои ходы (позиции третьего и пятого уровней), а все варианты ходов Первого он должен учитывать.
Анализируя первые пять уровней дерева, ребята двигаются от пятого уровня к первому. Вначале удобно пометить на с. 16–17 тетради все позиции пятого уровня, из которых Второй выигрывает всегда (например, обвести зеленым): это позиции 5c, 5h, 5k и 5m. Далее следует пометить все позиции четвертого уровня, из которых существует ход в одну из обведенных зеленым позиций пятого уровня. В результате обводим зеленым все позиции, кроме 4c, 4g, 4j. Затем находим на третьем уровне все позиции, каждая следующая у которой обведена зеленым, таких оказывается три: 3а, 3f и 3g. Теперь можно анализировать ход игры с начала, от корневой позиции. На первом ходу Первый может создать на поле одну из двух позиций (2a и 2i), поэтому придется рассматривать два случая.

1-й случай

Пусть Первый на первом ходу создал на поле позицию 2а. Тогда Второй должен сделать ход в позицию 3а. После этого Первый может создать на поле только позицию 4а, из которой Второй может сделать ход в позицию 5с и выиграть при любом ходе игры.

Начало любой такой партии можно схематично (с точностью до поворотов и симметричного отображения поля) изобразить в виде цепочки:


2-й случай

Пусть Первый на первом ходу создал на поле позицию 2i. Тогда Второй может на втором ходу создать на поле позицию 3f или 3g. Итак, у нас есть выбор. Имеет смысл выбрать ту позицию, из которой дальше игра идет проще (ведь мы хотим создать для Второго простое правило). Поэтому выбираем позицию 3g, ведь все следующие позиции после нее одинаковые. После этого Первый может создать на поле только позицию 4е, из которой Второй всегда может сделать ход в позицию 5к и выиграть дальше при любом ходе игры.

Начало любой такой партии можно схематично (с точностью до поворотов и симметричного отображения поля) изобразить в виде цепочки:

Здесь нужна картинка со стр. 134.

Итак, мы сильно упростили для Второго правило выигрыша. Теперь ему достаточно держать в голове две цепочки из четырех звеньев. Однако можно пойти дальше и попытаться описать словами действия Второго в зависимости от игры Первого. Если стремиться к тому, чтобы словесная формулировка была достаточно простой, то вряд ли удастся добиться формальной точности. Главное – договориться с детьми, что и как называть: ведь в дальнейшем от них потребуется не знать правило, а уметь ему следовать. Например, можно заметить, что восемь из девяти точек поля образуют квадрат (и одна в центре), и пользоваться соответствующей терминологией («отрезки», «стороны», «диагонали» и т. д). Другой вариант – как-то назвать точки поля (например, «центральная», «угловые» и «боковые») и описывать в правиле, какую точку с какой следует соединять. Например: «Если на первом ходу Первый соединил боковую точку поля с центральной, то нужно продлить этот отрезок, тоже соединив центральную с противоположной боковой. Если на первом ходу Первый соединил угловую точку с боковой, то нужно продлить этот отрезок, соединив эту боковую с другой соседней угловой».

По окончании этой работы предложите детям сыграть еще несколько партий в Ползунок на поле 3×3 уже без опоры на дерево, а пользуясь сформулированной стратегией (или сформулированной словесно, или держа в памяти цепочки начала партий).