Квадратные уравнения в древности. Задачи на составление квадратных уравнений

Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в древнеегипетских математических папирусах. Вот, например: «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а 3/4 длины равно ширине». Попробуйте решить сами!»

Решение

Запись собственно решения в папирусе лаконична: по сути, говорится лишь, что необходимо разделить 12 на 3/4.

Уравнения, в которых присутствуют и вторая, и первая степени, впервые появляются в Древнем Вавилоне. При этом отрицательные решения не рассматривались. Условие и решение излагались словами. Например, в условии одной из задач говорится: «Я вычел из площади сторону моего квадрата и получил 870» (это в современных обозначениях; в оригинале здесь стоит число в шестидесятеричной системе <VVVV<<<, то есть 14 ∙ 60 + 30). Таким образом, речь идет о решении уравнения x2 – x = 870. По силам ли оно Вам?

Решение

Вот текст вавилонского решения: «Ты берешь 1, число (т. е. коэффициент при x). Ты делишь пополам 1, это 1/2 (в оригинале <<<, то есть 30/60). Ты умножаешь 1/2 на 1/2, это 1/4. Ты складываешь (это) с 870, и это есть что является квадратом для Ты складываешь 1/2, которое ты умножал, с получается 30, сторона квадрата».

Таким образом, решение уравнения можно, в современных обозначениях, записать:

или, для уравнения в общем виде x2 – px = q:

Как мы помним, греки использовали так называемую геометрическую алгебру – методы и результаты, которые мы бы сейчас трактовали как «перевод» алгебраических формул на язык геометрии. В том числе, рассматривались геометрические задачи, эквивалентные квадратным уравнениям, но решаемые сугубо геометрическими средствами. Мы рассмотрим их в ходе следующего урока. Тем не менее, один из греческих математиков поздней античности – Диофант – возможно, под влиянием вавилонян развивал алгебраический подход, не обращаясь ни к каким геометрическим построениям.

В качестве решений Диофант рассматривал только рациональные числа. В настоящее время Диофант имеет наибольшую известность как исследователь неопределенных задач, в которых число неизвестных превышает число уравнений и которые имеют, как правило, много решений: такие уравнения до сих пор называются диофантовыми. Но он уделил внимание и определенным задачам, в том числе сводящимся к квадратным уравнениям. Такова, например, задача о нахождении двух чисел, если известны их сумма и произведение: задачи такого типа решали уже в Вавилоне.

А Вы можете решить эту задачу? Пусть, например, сумма двух чисел равна 20, а произведение 96 (пример взят из задач Диофанта). Каковы числа?

Решение

Диофант, применяя полезную замену переменных, принимает, что разность двух исходных чисел равна удвоенному неизвестному, 2d. При этом исходные числа равны:

x = (x + y)/2 + (x – y)/2 = 10 + d,
x = (x + y)/2 – (x – y)/2 = 10 – d,

их произведение:

xy = (10 + d) (10 – d) = 100 – d2.

Получаем:

100 – d2 = 96.

Следовательно,

d2 = 4, а d = 2,

откуда большее число равно 10 + 2 = 12, меньшее 10 – 2 = 8.

Очевидно, метод Диофанта применим и к другим сумме и произведению. В общем случае, если сумма S, а произведение p, метод Диофанта дает:

x = (x + y)/2 + (x – y)/2 =  p/2 + d,
y = (x + y)/2 – (x – y)/2 =  p/2 – d,

их произведение:

xy = (p/2 + d) (p/2 – d) = (p/2)2 – d2

Получаем:

(p/2)2 – d2 = S.
Следовательно,

d2 = (p/2)2 – S,

Формул такого типа Диофант не писал: у него не было обозначения для произвольных параметров (хотя было обозначение для неизвестного). Тем не менее, его метод является общим, хотя он и показывает его действие лишь на частном примере. Диофант, кроме того, выяснил, что для существования решения (которые он искал лишь среди рациональных чисел) «нужно, чтобы квадрат полусуммы искомых отличался от их произведения на квадрат»: только в этом случае из подкоренного выражения в вышеприведенной формуле будет извлекаться корень.