Пример 4. Нормальное распределение

Это распределение играет в теории вероятностей особую роль, т.к. лежит в основе ее важнейших законов. Его называют еще распределением Гаусса или гауссовым распределением, поскольку именно великий Карл Гаусс впервые понял особую роль этого закона распределения. Нормальная плотность распределения задается следующей формулой, включающей два числовых параметра - a и s:

При любых значениях параметров a и s график этой функции имеет вид колокола, расположение и форма которого определяются значениями этих параметров. В лаборатории показаны три таких графика, соответствующих значениям параметров (0; 1/2), (3/2; 1/2) и (0; 1/6):

Откуда взялась эта "страшная" формула для плотности нормального распределения? Оказывается, как это ни странно, она заложена в природе вещей, а вовсе не придумана математиками только для того, чтобы поупражняться в построении графиков и вычислении интегралов.

Дело в том, что если какая-либо случайная величина представляет собой сумму большого числа взаимно независимых и малых по сравнению со всей суммой случайных величин, то она распределена по нормальному закону. Если придать этому утверждению более строгий математический смысл, то оно превратится в так называемую центральную предельную теорему - одну из наиболее фундаментальных теорем всей теории вероятностей.

На обычном же языке важность нормального закона можно объяснить так: всякий раз, когда мы наблюдаем за поведением какой либо величины, поведение которой складывается под воздействием большого числа мелких независимых факторов, можно ожидать, что ее поведение будет подчиняться нормальному закону распределения.

Именно поэтому нормальное (или близкое к нормальному) распределение имеют такие величины как рост и вес, цена на товар, уровень знаний, ошибки наблюдений, скорости молекул в объеме газа и т.д.