Парадокс Бертрана

Опыт Бертрана Ни одна область математики не богата парадоксами так, как теория вероятностей. Некоторые из них связаны с геометрической вероятностью. Рассмотрим парадокс, принадлежащий еще одному знаменитому французу - Ж.Бертрану. Возьмем произвольную окружность и проведем в ней случайную хорду. С какой вероятностью она окажется больше, чем сторона вписанного в эту окружность равностороннего треугольника?

Бертран привел три разных решения этой задачи с тремя разными ответами!

 
Модель 1 Выберем на окружности случайную точку A - первый конец хорды, а затем случайную точку B - второй конец хорды:

 
Модель 2 Зададим сначала случайное направление хорды - для этого выпустим из центра окружности случайный луч OM, которому наша хорда перпендикулярна. Чтобы задать случайную хорду остается выбрать на радиусе OM случайную точку, в которой наша хорда пересекает этот радиус:

 
Модель 3 Чтобы полностью определить положение хорды, достаточно задать точку C - ее середину. Выберем эту точку случайным образом в нашем круге: