Знакомство с теорией вероятностей

Рассмотрим некоторые понятия теории вероятностей.

Опыт (испытание или эксперимент) - это осуществление строго определенных действий при одних и тех же условиях.

Пусть у нас есть 5 одинаковых шариков от настольного тенниса, на которых нанесены цифры - на первых двух красным маркером 1 и 2 (это будут «красные шары»), на остальных – синим маркером 3, 4 и 5 («синие шары»).

Проводим опыт – вытаскивание шара из ящика.

Конкретный результат опыта называется элементарным исходом. При вытаскивании шара из нашего ящика, возможны пять элементарных исходов: «вытащили 1-й шар», «вытащили 2-й шар»,…, «вытащили 5-й шар».

Возможный результат опыта называют событием.

Примеры событий при проведении нашего опыта: «вытащили синий шар», «вытащили красный шар», вытащили шар с четным номером», «вытащили шар с номером, большим двух» и т.д.

Случайным называется событие, если оно может произойти, а может и не произойти в данном опыте. Если в ящике находятся красные и синие шары, то событие «из ящика извлечен красный шар» — случайное (ведь мы можем и не извлечь красный шар в данном испытании).

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет в данном опыте. Например, если в ящике находятся только синие шары, то событие «из ящика извлечен синий шар» является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).

Невозможным называется событие, которое не может произойти в этом опыте. В нашем примере (в ящике пять синих и красных шаров) таковым является событие «из ящика извлечен черный шар» (таких шаров в ящике просто нет).

Равновозможными считают события, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие (появление цифры) и событие (появление герба) равновозможными. В нашем опыте равновозможны события «вытащили 1-й шар», «вытащили 2-й шар»,…, «вытащили 5-й шар».

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом же опыте. События «вытащили синий шар» и вытащили шар с номером, большим 3» совместны (они наступают одновременно, если вытащили шар с номером 4 или 5).

Если Вас заинтересовала теория вероятности, то советуем подготовить шарики и провести эксперименты.

Эксперимент 1.

Возьмите ящичек и положите в него все 5 шаров. Проведите опыты.

Перемешайте шарики и вытаскивайте по одному. Запишите какого он цвета и положите шарик обратно. Это первый опыт. Проведите не менее 30 опытов.

Можно ли было предсказать, сколько раз будет вынут красный шар? Какова его доля во всех опытах? Естественно, каждый раз результат зависит от случая — может попасться красный шар, а может и синий. Но при большом числе опытов примерную долю красных шаров можно предсказать!

Каждый раз вы вынимали из урны либо первый шар (с номером 1), либо второй (с номером 2), … , либо пятый (с номером 5) — всего пять возможных исходов каждого опыта. Шары тщательно перемешаны, на ощупь различить их нельзя, у всех одинаковые шансы быть вынутыми. Все пять исходов равновозможные.

Теперь понятно, что каждый шар может появиться в 1/5 части всех опытов, и, чем больше раз вы вынимаете шары, тем ближе к 1/5 доля любого из пяти исходов. Конечно, теоретически можно допустить, что все тридцать раз вы вынимаете, например, первый шар. Но это - совершенно исключительный случай, а мы говорим сейчас о средних результатах.

Что же можно сказать о красном цвете? Он может в каждом опыте появиться одним из двух способов, в двух случаях из пяти (ведь у нас два красных шара). Эти исходы называются благоприятными для появления красного шара. Итак, всех возможных различных исходов — 5 (так как всего пять шаров), благоприятных из них — 2, следовательно, в среднем в 2/5 от всех опытов будет вынут красный шар. И чем больше опытов, тем ближе его доля к 2/5. Это и есть вероятность появления красного шара.

Этот пример иллюстрирует формулу классической теории вероятностей.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события A обозначают через P(A) (здесь P — первая буква французского слова probabilite — вероятность):

где m — число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; n — число всех равновозможных элементарных исходов опыта. Вероятность события Р(А) всегда больше или равна 0 и меньше или равна 1:

0 ≤ Р(А )≤ 1.

Необходимо обратить внимание на то, что вероятность достоверного события равна 1 (так как все возможные исходы благоприятны), а вероятность невозможного события равна 0, так как нет ни одного благоприятного исхода.

Если у какого-то события имеется несколько равновозможных исходов, то сумма их вероятностей равна 1. Так, при подбрасывании монеты, возможны только два события – выпадение герба и выпадение цифры. Вероятность наступления каждого из них – ?. Сумма вероятностей этих событий равна 1/2 + 1/2 = 1.

Если вероятность события А равна Р(А), то вероятность того, что событие А не произойдет равна 1- Р(А).

Вероятность появления красного шара, если шар вытаскивают из ящика с двумя красными шарами и тремя синими, - 2/5. Значит вероятность тог, что красный шар не будет вытащен – 1 - 2/5= 3/5.

Эксперимент 2.

Возьмите 1 монетку.

1. Подбрасываем монетку 1 раз. Возможны 2 события: выпадение цифры, выпадение герба. Равновозможны ли данные события? (Да, вероятность каждого события -1/2).

События «Выпадение цифры» и «выпадение герба» не могут наступить одновременно при проведении данного опыта. Такие события называются несовместными.

2. Подбрасываем монету 2 раза подряд. Какова вероятность выпадения двух цифр, двух гербов, одного герба и одной цифры?

Всего возможно 4 события: оба раза выпадают гербы; оба раза выпадают цифры; первый раз – герб, а второй – цифра; первый раз – цифра, а второй – герб. Все 4 события равновозможные.

Вероятность выпадения двух гербов – 1/4, двух цифр -1/4, одного герба и одной цифры равна 2/4 = 1/2.

При проведении этого опыта могут наступать и такие события: «на одной из монет выпадет герб», «на одной из монет выпадет цифра». Данные события могут наступить одновременно при одном испытании, то есть они совместные.

Рассмотрим пример.

Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?

Обозначим через A событие "число на взятой карточке кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию A благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

P(A) = = 0,2 .

Обозначим через В событие «число на взятой карточке – кратно 7», а через С – «число на взятой карточке – нечетное». Тогда события А и В – несовместные (не могут наступить одновременно при проведении одного испытания), а события А и С - совместные (могут наступить одновременно при одном испытании).

Copyright © 2008