Движение тел под действием сил

Для решения задач по динамике полезно пользоваться следующим предписанием.

1. Выбрать систему отсчета. Изложенный выше теоретический материал позволяет решать задачи в инерциальной системе отсчета. С хорошей степенью точности условиям инерциальности отвечает Земля.

2. Изобразить ускорения, с которыми движутся тела.

В инерциальной системе отсчета на чертеже необходимо:

3. Изобразить силы, действующие на каждое из тел, исходя из того, что силы есть результат взаимодействия одних тел с другими.

4. Выбрать направления для проецирования сил и ускорений.

5. Записать второй закон Ньютона для каждого из движущихся тел сначала в векторной форме, потом в скалярной форме в проекциях на выбранные направления.

6. В случае необходимости, написать дополнительные уравнения так, чтобы общее число уравнений соответствовало числу неизвестных.

7. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестных величин.

Рассмотрим, как это предписание применяется для решения нескольких типовых задач по динамике.

Пример 1Задача о движении автомобиля о выпуклому мосту

Определите силу давления движущегося автомобиля на верхнюю точку выпуклого моста. Радиус моста R, скорость автомобиля – υ.

Решение

Выберем инерциальную систему отсчета, свяжем ее с мостом. Это позволит применить к описанию движения автомобиля законы Ньютона.

Рис. 1

Автомобиль движется по дуге окружности с постоянной по величине скоростью, направленной по касательной к этой окружности, и имеет центростремительное ускорение. Ускорение направлено к центру окружности (на чертеже – вертикально вниз).

Сила давления на мост (вес движущегося автомобиля) равна, согласно третьему закону Ньютона, по модулю силе упругости моста, действующей на автомобиль.

На автомобиль действуют силы тяжести, упругости, тяги и сопротивления. Так как автомобиль движется с постоянной по величине скоростью, сила тяги уравновешена силой сопротивления. Сила тяжести по модулю больше силы упругости, т. к. их результирующая сообщает автомобилю центростремительное ускорение.

Запишем для автомобиля уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

Для записи этого уравнения в скалярной форме, спроецируем все векторные величины на выбранное направление.

Y: Fy + mg = ma. Отсюда: Fy = m(g – a).

Т. к. в условии задачи отсутствуют сведения о величине центростремительного ускорения, но заданы скорость автомобиля и радиус кривизны моста, запишем дополнительное уравнение для центростремительного ускорения:

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

Очевидно, что в верхней точке выпуклого моста сила упругости меньше силы тяжести на величину Значит, и вес автомобиля, т. е. сила его давления на мост, также меньше силы тяжести и равна:


Пример 2Задача о движении поезда на повороте

Рассчитать, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего, чтобы боковое давление на реборды колес было равно нулю. Ширина колеи дороги равна 1,5 м. Закругление имеет радиус 800 м. Принять значение скорости 20 м/с.

Решение

Выберем инерциальную систему отсчета, свяжем ее с мостом. Это позволит применить к описанию движения вагона законы Ньютона.

На повороте железной дороги вагон получает центростремительное ускорение, направленное к центру окружности, дугой которой является участок пути, по которому он движется.

Чтобы уменьшить боковое давление рельсов на реборды колес поездов и тем самым уменьшить их износ, на закруглениях железнодорожного пути устраивают наклон полотна дороги. Благодаря этому центростремительное ускорение создается не только силой бокового давления рельсов на реборды, но и равнодействующей силы тяжести и силы упругости. (Сила упругости, называемая еще силой реакции опоры, перпендикулярна верхним поверхностям рельсов). За счет этого боковая сила уменьшится.

Рис. 2

Изобразим на чертеже силы, действующие на вагон, результирующую этих сил, и ускорение, сообщаемое вагону силой тяжести и силой реакции опоры.

Т. к. силы тяжести и упругости направлены под углом друг к другу и не совпадают с вектором ускорения, выберем два взаимно перпендикулярных направления для проецирования сил и ускорений. Ось 0X направим по вектру центростремительного ускорения, ось 0Y – вертикально вверх.

Запишем для вагона второй закон Ньютона в векторной форме:

Спроецировав вектора на выбранные направления, получаем уравнения:

X:

Y: mg + Fy ∙ cos α = 0.

Из второго уравнения выражаем силу упругости:

Подставив это выражение в первое, получим:

Решим это уравнение относительно искомого угла:

Подставим в полученное выражение известные величины: tg α = 0,05. Отсюда: α ≈ 3°.

Учитывая, что h = L ∙ sin α, имеем следующий результат: h ≈ 75 мм.


Пример 3Задача о запуске искусственного спутника Земли

Рис. 3
Рис. 4

Рассчитайте минимальную скорость, получившую название первой космической скорости, которую надо сообщить телу в горизонтальном направлении, чтобы оно стало спутником Земли.

Решение

Выберем инерциальную систему отсчета, свяжем ее с Землей.

Чтобы тело двигалось равномерно по окружности вокруг Земли, оно должно обладать ускорением, направленным к центру Земли.

Если пренебречь слабыми силами притяжения к Луне, Солнцу и другим небесным телам, а также малым сопротивлением атмосферы при движении в околоземном пространстве на высоте H над Земной поверхностью, то сообщает спутнику ускорение только сила тяготения к Земле.

Скорость спутника на заданной высоте H должна быть такой, чтобы ускорение, сообщаемое телу силой тяготения, было равно: где R – радиус Земли.

Ось для проецирования силы и ускорения направим по вектору ускорения к центру Земли.

Запишем для спутника второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на выбранное направление:

Подставим в полученное уравнение выражения для силы всемирного тяготения и центростремительного ускорения. Таким образом, для устойчивого движения по окружности должно выполняться равенство: или:

Так как G, M и R известны, то при заданном значении высоты можно вычислить скорость υ.

Скорость кругового движения искусственных спутников Земли, при H > 0 определяется по формуле:

Скорость кругового движения тела вокруг Земли при H = 0 обозначим ее через υ1. Она может быть вычислена по формуле .

Учитывая, что ускорение свободного падения тел вблизи Земли определяется формулой: , получим:

Подставим в данное выражение значения ускорения свободного падения радиуса Земли R = 6400 км, и получим следующий результат:

Так как M ∙ G = g ∙ R2, то искомая скорость на высоте H над поверхностью Земли может быть вычислена и по формуле


Пример 4Задача о движении связанных тел в вертикальной плоскости
Рис. 5

Через неподвижный блок переброшена нерастяжимая нить, массой которой можно пренебречь. Также можно пренебречь массой блока и трением в его оси. К концам нити привязаны грузы. Массы грузов m1 и m2.

На один из грузов поставили перегрузок, в результате чего система пришла в ускоренное движение. Масса перегрузка равна m3.

C каким ускорением будут двигаться грузы? Чему равна сила натяжения нити T? С какой силой Fд перегрузок давит на груз?

Решение
Рис. 6

Выберем инерциальную систему отсчета. Свяжем ее с Землей.

Изобразим на чертеже направление ускорения каждого тела.

Т. к. мы не знаем точно, по часовой стрелке или против нее, будет двигаться система, направление движения выберем произвольно.

Будем считать, что первый груз движется вверх с ускорением а грузы и движутся вниз с ускорением

Судя по всему, ускорения тел и одинаковы, поскольку эти тела можно рассматривать как одно тело, движущееся с ускорением Но, так как нам надо найти силу давления перегрузка на груз, будем рассматривать их раздельно.


Рис. 7

Изобразим силы, действующие на каждое тело, исходя из того, что силы – результат действия одних тел на другие. Все силы будем прикладывать к центру масс тел.

На первое тело со стороны Земли действует сила тяжести

Со стороны нити на это тело действует сила упругости

Так как первое тело движется с ускорением вертикально вверх, то по величие сила упругости больше, чем сила тяжести.

На второе тело со стороны Земли действует сила тяжести В этом же направлении на второе тело действует сила давления со стороны перегрузка .

В противоположную сторону на второе тело со стороны нити действует сила

Так как вектор ускорения, с которым движется второе тело, направлен вниз, на чертеже эти силы изобразим так, чтобы их векторная сумма также была направлена вниз.

Для выполнения чертежа предположим, что нить по всей длине натянута одинаково и силы и равны друг другу.

На перегрузок действует сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила реакции со стороны опоры

Сила давления, с которой перегрузок действует на опору, по третьему закону Ньютона равна силе, с которой опора действует на перегрузок.

Так как ускорение, с которым движется перегрузок, направлено вертикально вниз, сила тяжести, действующая на него, больше силы реакции опоры.

После того, как на чертеже изображены силы, действующие на каждое из движущихся тел, выберем направления для проецирования сил и ускорений. Удобно направления для проецирования сил и ускорений выбирать так, чтобы они совпадали с направлениями ускорений движения соответствующих тел.

Рис. 8

Выберем для каждого тела свое направление (хотя можно было бы ограничиться одним направлением).

Для проецирования сил, действующих на первое тело, и ускорения его движения, выберем направление вверх. Для проецирования сил, действующих на второе тело и перегрузок, и ускорения их движения, выберем направление вниз.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для каждого из рассматриваемых тел: сумма сил действующих на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, с которым тело движется.

Запишем уравнения в скалярной форме, в проекциях на выбранные направления.

Y

Y'

Y'

Процедура проецирования векторов сил и ускорений на выбранные направления позволила получить систему уравнений, в которую входят не векторные, а скалярные величины:

В этой системе, если сопоставить число неизвестных с числом уравнений, оказывается, что неизвестных больше, чем самих уравнений. Это означает, что необходимо записать дополнительные уравнения, включающие в себя уже имеющиеся неизвестные величины.

При написании этих уравнений будем исходить из следующих обстоятельств.

Во-первых, по третьему закону Ньютона, модуль силы давления перегрузка на второе тело и силы реакции опоры, действующей со стороны второго тела на перегрузок, равны друг другу:

Во-вторых, по условию задачи, нить нерастяжима. Ускорение при равноускоренном движении, если начальная скорость равна нулю, связано с перемещением и временем движения следующим образом: Это означает, что за равные промежутки времени тела будут совершать равные перемещения.

Таким образом, ускорения тел численно равны друг другу:

a1 = a2 = a.

Далее, установим, верно ли высказанное выше предположением, что силы T1 и T2, действующие на первое и на второе тела, равны?

Для этого рассмотрим упрощенный чертеж. Исключим из рассмотрения перегрузок и ограничимся фрагментом, на котором отсутствует блок.

Рис. 9
Рис. 10

На первое тело со стороны нити действует сила но, по третьему закону Ньютона, со стороны тела на нить также действует сила, равная по величине и противоположная по направлению. Обозначим ее

Эта сила приложена к нити со стороны тела. Именно эта сила нас и интересует.

Таким образом: .

Точно также, на второе тело со стороны нити действует сил а на нить со стороны тела действует сила По третьему закону Ньютона

Оказывается, что на нить с двух сторон действуют силы и

Нить так же, как и тела, движется с ускорением под действием этих сил. Запишем уравнение движения нити в скалярном виде:

где M – масса нити.

Если масса нити равна нулю M = 0, то В противном случае это равенство несправедливо.

Так как    то можно сделать вывод о том, что .

Такое доказательство, строго говоря, необходимо при решении любой задачи на движение связанных тел, но поскольку оно всегда производится одинаковым образом, в дальнейшем его повторять не будем. При желании всегда можно обратиться к данной задаче и повторить доказательство для любого аналогичного случая.

С учетом всего вышеизложенного, перепишем систему уравнений:

Решать эту систему можно разными способами, например, наиболее распространенным и универсальным способом подстановки. Но в данном случае гораздо удобнее сложить правые и левые части уравнений.

В результате проведения этой операции получаем: (m2 + m3 – m1g = (m1 + m2 + m3)a.

Отсюда искомое ускорение:

Как видно, в данном уравнении коэффициент, стоящий перед ускорением свободного падения, меньше единицы, следовательно, ускорение, с которым движется тело, меньше ускорения свободного падения.

Если сумма масс второго и третьего тела равна массе первого тела, грузы, висящие справа и слева, уравновешивают друг друга. Ускорение их движения равно нулю. Система либо покоится, либо, если ей сообщили какую-то скорость, движется с этой скоростью, сохраняя ее постоянной.

Зная ускорение движения системы, можно найти ответы на другие интересующие нас вопросы. В частности, можно, например, из первого уравнения выразить силу натяжения нити: T = m1a + m1g.

Найдя численное значение ускорения, его можно будет подставить в данное уравнение и определить численное значение силы натяжения T.

Аналогичным образом можно выразить из второго или из третьего уравнения (лучше из третьего, как более простого) значение силы давления Fд: Fд = m3g – m3a.

Зная величину ускорения, можно найти величину силы давления перегрузка на груз. Эта сила является весом перегрузка.

Как видно, в случае, если система движется с ускорением, вес перегрузка меньше силы тяжести, действующей на него.


Пример 5Задача о движении тела по наклонной плоскости
Рис. 11

Два груза массами M и m связаны невесомой и нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, который укреплен у верхнего края наклонной плоскости.

Тело массы M движется по наклонной плоскости с ускорением a.

Коэффициент трения скольжения тела массы M о поверхность наклонной плоскости μ. Угол наклона плоскости по отношению к горизонту α.

Найти ускорение движения тел и силу натяжения нити.

Выберем инерциальную систему отсчета. Свяжем ее с Землей.

Решение

Пусть тело массы M (будем называть его первым телом, а тело массы m будем называть вторым телом) поднимается вверх вдоль наклонной плоскости с ускорением a. Соответственно, ускорение тела массой m направлено вертикально вниз.

Рис. 12

Изобразим на чертеже направление ускорения каждого тела.

Изобразим силы, действующие на каждое тело. Считаем, что силы приложены к центру масс тел. На первое тело массы M действуют сила тяжести направленная вертикально вниз; сила реакции опоры направленная перпендикулярно к наклонной плоскости; сила трения скольжения направленная в сторону, противоположную движению; сила натяжения нити направленная вдоль нити.

Векторная сумма этих сил направлена вдоль наклонной плоскости.

Чтобы не ошибиться в построении, можно мысленно или пунктирной линией нарисовать параллелограмм, диагональ которого расположена параллельно наклонной плоскости. Это позволит определить величину силы реакции опоры

Чтобы первое тело двигалось с ускорением, длина вектора силы натяжения нити должна быть больше результирующей сил тяжести, реакции опоры и трения скольжения, действующих на это тело.

На второе тело действует сила тяжести и сила натяжения нити (Так как по условию задачи нить нерастяжима и ее масса равна нулю, нить по всей длине натянута одинаково, и оба связанных тела движутся с одним и тем же ускорением).

Чтобы второе тело двигалось вниз с ускорением, сила тяжести действующая на него, должна быть больше силы натяжения нити

Выберем направления для проецирования ускорений и сил.

Силы, действующие на первое тело, направлены под углом друг к другу, поэтому обойтись одной осью нам не удастся. Ось 0X направим по вектору ускорения. Перпендикулярно оси 0X направим ось 0Y. Будем проецировать в дальнейшем векторы сил, действующие не первое тело, на эти направления.

Для проецирования сил, действующих на второе тело, и его ускорения, достаточно одной оси 0Y' . Направим ее вертикально вниз вдоль вектора ускорения второго тела.

Запишем второй закон Ньютона для первого и второго тела в векторной форме:

Запишем второй закон Ньютона для первого и второго тела в скалярной форме, в проекциях на выбранные направления:

XT – Mg sin α – Fтр = Ma.

YT – Mg cos α + N = 0.

Y'mg – T = ma.

Из второго уравнения найдем N: N = Mg cos α.

Следует обратить внимание на то, что сила реакции опоры, действующая на тело, находящееся на наклонной плоскости, меньше силы тяжести.

Запишем дополнительное уравнение для силы трения скольжения.

Сила трения скольжения равна произведению коэффициента трения на силу нормального давления: Fтр = μN. Таким образом, зная чему равна сила реакции опоры и, равная ей сила нормального давления, можно подставить их в выражение для силы трения: Fтр = μmg cos α.

Далее, имея выражение для силы трения, можно подставить его в первое уравнение. Получаем: T – Mg sin α – μMg cos α = Ma.

Третье уравнение остается без изменения:  mg – T = ma.

Полученная система из двух уравнений решается относительно силы натяжения и ускорения: ; T = g(m – a).


Пример 6Задача о санках, скатывающихся с горки
Рис. 13

С горки скатываются санки. Горка переходит в горизонтальную плоскость. Скатившиеся санки, на некотором расстоянии от основания горки, останавливаются. Угол наклона горки по отношению к горизонту – α. Высота горки – h. Коэффициент трения скольжения санок на поверхности горки – μ1, а на горизонтальной поверхности – μ2.

Как далеко остановятся санки от основания горки?

Решение

Выберем инерциальную систему отсчета.

Разобьем движение санок на два участка:

1 участок – движение санок по горке; 2 участок – движение санок по горизонтальной поверхности.

Рис. 14

На первом участке:

Ускорение санок направлено вниз, вдоль наклонной плоскости.

На санки действуют силы: – тяжести, направленная вертикально вниз; – реакции опоры, направленная перпендикулярно опоре; – трения скольжения, направленная против движения.

Эти три силы сообщают санкам ускорение. Их результирующая должна быть направлена вниз вдоль наклонной плоскости.

Выберем две оси: одну расположим перпендикулярно наклонной плоскости, вторую направим вниз вдоль наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: сумма сил, действующих на санки, равна произведению их массы на ускорение:

В проекциях на выбранные направления уравнение разобьется на два:

Xmg sin α – Fтр1 = ma1.

YN1 – mg cos α = 0.

Третье, дополнительное уравнение, запишем, чтобы выразить силу трения и связать ее с коэффициентом трения и силой нормального давления:  Fтр1 = μ1 ∙ N1.

Решая уравнения, найдем ускорение, с которым движутся санки: a1 = g(sin α = μ1 ∙ cos α).

Зная ускорение и длину наклонной плоскости, найдем скорость, которую приобретут санки, дойдя до основания горы:

Длина наклонной плоскости L связана с высотой и углом наклона горки:

Рис. 15

На втором участке:

Ускорение направлено против скорости (санки тормозят).

На санки действуют сила тяжести ; сила реакции опоры отличающаяся от силы реакции опоры в первом случае; сила трения скольжения также отличающаяся от силы трения на наклонном участке траектории.

Санки совершают перемещение по горизонтальной поверхности.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для второго участка:

Для проецирования сил и ускорения выберем две оси: одну направим горизонтально в сторону перемещения санок, вторую – вертикально вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на выбранные направления:

X': –Fтр2 = –ma2;

Y'N2 – mg = 0.

Запишем дополнительное уравнение для силы трения: Fтр2 = μ ∙ m ∙ g.

Решив полученную систему, получаем:  a2 = μ2 ∙ g.

Ускорение на втором участке связано с начальной скоростью и перемещением до полной остановки соотношением:

После ряда преобразований получаем формулу, которая позволяет определить перемещение санок после их скатывания до полной остановки: