Числа и величины в древнегреческой математике. «Геометрическая алгебра»

Важной особенностью древнегреческой математики по сравнению с математикой других древних культур, в частности, Египта и Междуречья, было стремление к рациональному, логическому обоснованию теорий и методов. Именно поэтому о понятии числа у греков нам известно гораздо больше, чем у египтян или вавилонян. От египетской и вавилонской математики остались лишь образцы решений задач, и мы лишь по конкретным математическим действиям можем судить о том, что тогда понимали под числами. От греков же, кроме того, сохранилась определенная, явно сформулированная философская концепция математики. В частности, греки решали вопрос о том, что такое число, вполне определенным образом: число есть совокупность единиц. Тем самым под числами понимались только натуральные числа, за исключением единицы, которая была минимальным элементом любого числа, но сама числом не считалась. Единица рассматривалась как неделимое, своего рода числовой атом. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это сделать», – писал Платон. Теория чисел – арифметика – это в значительной мере теория делимости чисел. Она лишается смысла, если считать единицу, а с ней и любое число, делимыми на сколько угодно частей.

Греки отличали арифметику от логистики – практического искусства вычислений. Учитывая довольно сложный характер расчетов при древнегреческой нумерации, логистика, действительно, была искусством. Но арифметика была выше, она считалась подлинной наукой, должна была строиться с помощью обоснований и доказательств и не зависеть от практических приложений, на которые, в основном, и ориентировалась логистика. Конечно, встречающиеся на практике единицы – например, денежные или измерительные, – допускали деление. Но арифметика как наука занималась не числами, употреблявшимися на практике, а идеальными числами, числами как они есть, созерцаемыми с помощью ума, а не чувств.

Что же до длин, площадей, объемов, углов, а также, например, весов, промежутков времени, то они считались не числами, а величинами. Свойства величин – будь то отрезки, площади. углы, объемы – Евклид в книге «Начала» задает с помощью аксиом, в том числе таких:

  • равные одному и тому же равны между собой;
  • и если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны;
  • и если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны;
  • и совмещающиеся друг с другом равны между собой;
  • и целое больше части.

По отношению к величинам разного рода можно было осуществлять некоторые операции, аналогичные (по крайней мере, частично) операциям с числами: например, сложение и вычитание. Но все-таки это было не то же самое; например, Евклид избегает говорить о величинах в числовых терминах, например, представлять эти величины как результаты конкретных измерений (хотя свойства чисел иногда иллюстрируются с помощью геометрических чертежей). В одном месте излагается весьма развитая теория пропорций, применяемая к любым величинам, а в другом – совсем другая теория числовых пропорций.

Евклид приводит ряд результатов, которые мы бы сейчас сочли скорее алгебраическими, хотя у Евклида все эти факты излагаются как геометрические теоремы. Современные историки науки нередко называют эту часть греческой математики «геометрической алгеброй». В геометрической алгебре речь шла не о числовых выражениях, а о фигурах – отрезках, прямоугольниках и т. д.

Приведем пример. Евклид пишет: «Если имеются две прямые, одна из которых рассечена на несколько отрезков, то прямоугольник, заключающийся между этими двумя прямыми, равен вместе взятым прямоугольникам, заключенным между нерассеченной прямой и каждым из отрезков». Под «прямой» здесь подразумевается ограниченная прямая линия, то есть, выражаясь в современных терминах, отрезок. «Отрезки» же, в терминах Евклида, – это те части, которые образуются в результате «какого-либо рассечения», то есть разделения «прямой». «Прямоугольник, заключенный между прямой и отрезком» – прямоугольник со сторонами, равными упомянутым «прямой» и отрезку. «Равенство» геометрических фигур – это, в современных терминах, их равновеликость, то есть равенство их площадей. То есть, фактически, Евклид говорит о том, что если даны отрезки a и b, причем a = a1 + a2 + a3 + ... + an, то площадь прямоугольника со сторонами a и b равна сумме площадей прямоугольников со сторонами a1 и ba2 и ba3 и b, ..., an и b. Или, совсем уж в современных обозначениях: (a1 + a2 + a3 + ... + anb = a1b + a2b + a3b + ... + anb. Это, фактически, и есть дистрибутивный закон умножения.

Рис. 1. Дистрибутивный закон

Равенство (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab Евклид формулирует следующим образом: «Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками».

Рис. 2. Квадрат суммы

В доказательствах разнообразных геометрических теорем там, где современный математик писал бы цепочку алгебраически равенств между теми или иными элементами чертежа, грек записывал последовательность утверждений вида, например, «квадрат на отрезке AB равен прямоугольнику между отрезками CM и OP». Такое изложение с нынешней точки зрения представляется несколько громоздким и трудным для восприятия. Но для греческих математиков такая запись, видимо, была достаточно наглядной.

Однако возможности геометрической алгебры греков были существенно ограничены по отношению к возможностям современной «школьной» алгебры. Геометрическая алгебра могла оперировать только с положительными величинами – длинами отрезков, площадями плоских фигур, объемами трехмерных тел. С помощью геометрической алгебры можно было перемножить длины двух отрезков (построить прямоугольник со сторонами, равными этим отрезкам).

Рис. 3. Умножение двух чисел как площадь

Можно было также перемножить длины трех отрезков или умножить длину отрезка на площадь плоской фигуры, это требовало уже выхода в трехмерное пространство (например, по отрезку и прямоугольнику построить прямоугольный параллелепипед, высота которого равна отрезку, а основание – прямоугольнику).

Рис. 4. Умножение трех чисел как объем

Но вот перемножать длины четырех отрезков или площади двух плоских фигур уже не имело смысла.

 

Если требовалось построить прямоугольник, равный сумме или разности двух других, то эта задача решалась просто в случае, когда одна из сторон первого прямоугольника равна одной из сторон второго:

Рис. 5. Прямоугольник, равный сумме двух других

Если же ни одна из сторон первого прямоугольника не равнялась никакой стороне другого, то вначале следовало уметь построить прямоугольник, равновеликий данному прямоугольнику и имеющий данную сторону (это называлось «приложить к данной прямой прямоугольник, равный данному»). То есть (с использованием современных алгебраических обозначений), если данный прямоугольник имеет стороны a и b, а данная сторона равна c, то требовалось по данным трем величинам a, b и c найти такую величину x, что cx = ab, или x = ab/c: фактически, эта операция аналогична делению площади данного прямоугольника на длину данного отрезка.

Это построение делалось на основе следующего факта: если в прямоугольнике проведены две прямые, параллельные смежным сторонам прямоугольника и пересекающиеся на его диагонали, то два прямоугольника, образованные этими прямыми и лежащие по разные стороны от этой диагонали, равновелики.

Рис. 6. Построение равновеликих прямоугольников

Доказательство довольно простое: достаточно обратить внимание, что треугольник ABC равен треугольнику CDA, треугольник AEK равен треугольнику KGA, a треугольник KHC равен треугольнику CFK. Поэтому SBEKH = SABC – SAEK – SKHC = SGDFK. Тот же факт имеет место не только для прямоугольников, но и для параллелограммов, и Евклид его так сразу для параллелограммов и доказывает.

Рис. 7. Построение равновеликих параллелограммов

Соответственно, если надо было построить прямоугольник, равновеликий данному прямоугольнику LMNO и имеющий данную сторону KF, то эта сторона продлевалась на отрезок KE, равный NM, затем строился и весь прямоугольник BEKH, равный прямоугольнику LMNO. После этого прямая BH продлевалась на отрезок HC, равный KF, проводилась прямая CK, которая пересекает прямую BE в точке A, а затем продолжение отрезка HK и прямые AD и CD, достраивающие прямоугольный треугольник ABC до прямоугольника ABCD. В результате получался искомый прямоугольник GDFK.

Модель 1. Построение прямоугольника, равновеликого данному и имеющего заданную сторону

Чтобы построить прямоугольник, равновеликий данному произвольному многоугольнику, можно было разбить многоугольник на треугольники.

Рис. 8. Разбиение многоугольника на треугольники

Затем каждый треугольник преобразовать в равновеликий ему прямоугольник.

Рис. 9. Преобразование треугольников в прямоугольники

А затем привести все прямоугольники к одной и той же общей стороне.

Модель 2. Построение прямоугольника, равновеликого данному многоугольнику

Наконец, была и операция, эквивалентная извлечению квадратного корня из некоторого S, то есть решению уравнения x2 = S. В геометрических терминах – требовалось найти сторону (x) квадрата, равновеликого данному многоугольнику (площади S). Для этого вначале строился прямоугольник BCDE, равновеликий данному многоугольнику; если он оказался квадратом, то задача решена, если же нет, то большая сторона (пусть это будет BE) продлевалась на отрезок EI = ED. Затем находилась середина H отрезка BI и строилась окружность на отрезке BI как на диаметре. Если она пересекала продолжение прямую DE в точке G, то отрезок EG и был искомой стороной квадрата. В самом деле, по теореме Пифагора EH2 + EG2 = GH2 (в древнегреческих терминах «квадрат на GH равен сумме квадратов на EH и EG»), или EG2 = GH2 – EH2 = (GH – EH) (GH + EH) = (IH – EH) (BH + EH) = EI ∙ BE = ED ∙ BE = SBCDE.

Модель 3. Построение квадрата, равновеликого данному прямоугольнику

Евклид излагает это доказательство в книге II – до теории пропорций и подобных фигур. Если же знать эту теорию, то доказательство получается еще проще. Угол BGI прямой (как опирающийся на диаметр), треугольник BGI, с одной стороны, подобен треугольнику BEG (по двум углам – прямому и общему), а с другой стороны, подобен треугольнику GEI (аналогично), поэтому треугольники BEG и GEI подобны между собой и BE / EG = GE / EI, откуда EG2 = BE ∙ EI = BE ∙ ED = SBCDE.

Рис. 10. Высота прямоугольного треугольника равна среднему геометрическому проекций его катетов

Отметим, что аналогичная операция для трехмерного пространства – построение куба, равновеликого данному прямоугольному параллелепипеду – в общем случае неразрешима с помощью циркуля и линейки.